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Proves Milne’s rationality conjecture for abelian varieties over \overline{\mathbb Q} with good …
@@M@@\overline{\mathbb Q}@@ 上具好约化的阿贝尔簇成立（含剩余特征 2）：任一有理 Hodge 类特化到约化簇后，与互补除子乘积的配对在所有 @@M@@\ell\ne p@@ 的 @@M@@\ell@@-adiProves the full Birch–Swinnerton-Dyer leading-term formula for every elliptic curve over ℚ whose ful…
@@M@@\mathbb{Q}@@ 上任意椭圆曲线，只要某个素数 @@M@@q@@ 处的全 @@M@@q@@-幂 Selmer 群余秩为 @@M@@0@@ 或 @@M@@1@@，就证明了解析秩与 Mordell–Weil 秩都等于该余秩、Tate–Shafarevich 群有限，且含全部素因子的完全@@M@@\mathbb{Q}@@ 上任意椭圆曲线与任意素数 @@M@@p@@：只要全 @@M@@p@@ 幂 Selmer 群的 @@M@@\mathbb{Z}_p@@-余秩为 @@M@@0@@ 或 @@M@@1@@，则 @@M@@L@@-函数的解析秩与 Mordell–Weil 秩都恰等于它，且整个 Tate–Shafarevich@@M@@2@@-幂 Selmer 群 @@M@@\mathbb{Z}_2@@-余秩 @@M@@s_2(E)\le 1@@ 的有理椭圆曲线，本文证明代数秩、解析秩与 Selmer 余秩三者相等，Tate–Shafarevich 群有限，且 BSD 首项公式的 $Proves that every Dirichlet L-function, including \zeta(s), is zero-free in $`\Re s\gt 7/…
@@M@@\mathbb Q(\sqrt{-3})@@ 上全体有限阶 Hecke @@M@@L@@-函数及全体 Dirichlet @@M@@L@@-函数（含 @@M@@\zeta(s)@@）在半平面 @@M@@\Re s>7/8@@ 内无零点（仅允许主特征在 @@M@@s=1@@ 的极点@@M@@\mathbb Q(\sqrt{-3})@@ 上全体有限阶 Hecke @@M@@L@@-函数及全体 Dirichlet @@M@@L@@-函数（含 @@M@@\zeta(s)@@）在半平面 @@M@@\Re s>7/8@@ 内无零点（仅允许主特征在 @@M@@s=1@@ 的极点@@M@@c>0@@，使得任何导子 (conductor) @@M@@q\ge 3@@ 的本原非主实 Dirichlet @@M@@L@@-函数的实零点 @@M@@\beta\in(0,1)@@ 都满足 @@M@@(1-\beta)\log q\ge c@@，从而一致Proves that no algorithm decides whether an integer-coefficient polynomial in an arbitrary number of…
@@M@@E/\mathbb Q@@，只要其 @@M@@2^\infty@@-Selmer 余秩（Selmer corank）为 0 或 1，就有 $\mathrm{ord}_{s=Proves that Catalan’s constant G=\sum_{j\ge0}(-1)^j/(2j+1)^2 is irrational. ([Lean](lean/docs/00…
@@M@@G=\sum_{j\ge0}(-1)^j/(2j+1)^2@@ 是无理数（irrational）。做法是对一族 @@M@@48N@@ 阶行列式同时给出”素数赋值下界”与”实侧上界”，两条界随Proves Goldfeld’s conjecture for quadratic twists of every elliptic curve over ℚ: analytic ranks zer…
@@M@@\mathbb{Q}@@ 上任意椭圆曲线 @@M@@E@@，本文证明 Goldfeld 解析密度猜想：二次扭曲中解析秩 0 与 1 各占密度 @@M@@1/2@@；并证明低余秩 2-逆定理：@@M@@2^\infty@@-Selmer 余秩为 0 或 1 时它就等于@@M@@E/\mathbb{Q}@@ 的二次扭曲在带符号平方自由参数、按绝对值计数下平均解析秩趋于 @@M@@1/2@@；证明无条件（不用广义黎曼假设与 BSD 猜想），核心新工具是导数阶随高度增长的Proves the ordinary two-point Chowla conjecture, with a bound O(X/(\log X)^c) for Liouville corr…
@@M@@\sum_{n\le X}\lambda(a_1n+b_1)\lambda(a_2n+b_2)\ll X/(\log X)^c@@，@@M@@c>0@@ 为绝对常数；并对一Proves that the rational Grothendieck–Teichmüller Lie algebra, with the Ihara bracket, is freely gen…
Reconstructs function fields of transcendence degree at least two over algebraically closed constant…
@@M@@\ell@@ 的代数闭常数域上、超越次数至少为 2 的函数域，可由 mod-@@M@@\ell@@ Milnor K 群 @@M@@K^{\mathrm M}_1/\ell@@、@@M@@K^{\mathrm M}_2/\ell@@ 及其双线性乘积@@M@@p@@ 的函数域上，一阶 Milnor K 群模 @@M@@p@@ 连同二阶 Steinberg 关系（Steinberg relations）足以重构域本身及其代数闭常数域：每个相容同构都是唯一域同构所诱导，只差一个 $\mathbb F_@@M@@\ge 2@@ 的函数域由其 pro-@@M@@\ell@@ 的 abelian-by-central Galois 商群连同交换子括号唯一确定，只差一个 $\mathbb Z_\ell^\tiEvery continuous odd absolutely irreducible two-dimensional 2-adic representation of $`G_{\mathbb Q}…
@@M@@2@@-adic 伽罗瓦表示 @@M@@r:G_{\mathbb Q}\to\GL_2(E)@@，只要在有限多个素数外不分歧，就必定出现在某个奇数水平的完整 @@M@@2@@-adic Hecke 代数中。这@@M@@N@@，水平 @@M@@\Gamma_1(N)@@ 的完整 2-adic Hecke 代数（Hecke algebra）的谱的每个不可约分支（irreducible component）的 Krull 维数（Krull dime@@M@@\mathbb Q@@ 上正则二维奇 Fop-1$Proves that the normalized ordered logarithms of the prime factors of p-1, counted with multipli…
@@M@@\varepsilon>0@@，有无穷多个 @@M@@n@@ 使 $g(n)=#{m:\varphi(m)=n}>n^{1-\varep@@M@@p\le x@@，把 @@M@@p-1@@ 的素因子（计重数）降序排列，其对数除以 @@M@@\log(p-1)@@ 后依一切有限联合分布收敛到参数为一的 Poisson–Dirichlet 律 $\mathrm{PD}(@@M@@p@@ 使 @@M@@p-1@@ 无平方因子且素因子个数（计入重数）为偶数，等价地 @@M@@\mu(p-1)=1@@ 无穷多次成立——素数前一项的奇偶性问题由此获得肯定回答。Resolves the Erdős–Pomerance joint Dickman conjecture: the logarithmic sizes of the largest prime fa…
@@M@@n@@ 与 @@M@@n+1@@ 的最大素因子在对数尺度上按自然密度渐近独立、边际均为 Dickman 分布，正面解决 Erdős–Pomerance 联合猜想，并得到 @@M@@P^+(n)<P^+(n+1)@@ 的密度恰为 1/2。Proves that no finite modification of the primes can be written as A+B with $`A,B\subseteq\mathb…
@@M@@A+B@@——素数在加法意义下不可分解。Proves the restricted geometric Langlands equivalence for connected reductive groups on smooth proje…
@@M@@\SL_2\times@@ Weil 群同态经对角特化在整个 Weil 群（含惯性群）上精确还原——Arthur@@M@@\overline{\mathbb Q}_\ell@@ 直和分解在任意整有限水平成立，验证了 Gaitsgory–Lafforgue–Raskin 的猜想，并在@@M@@G_2,F_4,E_6,E_7,E_8@@ 型分裂伴随例外单群，论文证明广义拉马努金猜想：整体泛型（globally generic）尖点自守表示的每个局部分量都温和（tempered），无任何特征与分歧深度限制，把姊妹篇的非分@@M@@p>0@@、@@M@@\ell\ne p@@ 的曲线上证明了受限几何朗兰兹等价（restricted geometric Langlands equivalence）的”满支撑”（full support）：谱侧局部系统栈没有任何连通分量@@M@@G@@ 构造了带 Borel 水平结构的非零 perverse Hecke 本征层，其特征值是标点处温和正则单幂、整体 Zariski 稠密的 @@M@@\ell@@-adic 局部系统，且奇异支集含于抛物型幂零@@M@@p>n@@ 的域上，本文对带有至少两个标记点、亏格 @@M@@\ge 2@@ 的曲线，为任意单幺（unipotent）tame 边界单值、Zariski 稠密的 @@M@@\PGL_n@@-局部系统构造了非零的反常（perverse）Hecke 本征层@@M@@p>n@@ 的有限域上，本文为带正则单幂零驯顺单值 (tame regular-unipotent monodromy) 的几何稠密算术 @@M@@\PGL_n@@-局部系统构造了 @@M@@\SL_n@@ 的 Borel 级 Hecke 特征层 (HProves Haar equidistribution without escape of mass for complete volume-weighted torus packets from …
@@M@@n\ge5@@ 的全实域，本文无条件证明：任意局部同位类型的环面束（torus packet）按轨道体积加权后，随乘子序判别式趋于无穷而弱收敛到 Haar 概率测度，且无质量逃逸。这正面解决了 ELMV 遗留的高维 Duke@@M@@\mathcal{O}@@ 的可逆理想类所给体积加权环面轨道丛（torus packet）当 @@M@@|\mathrm{Disc}(\mathcal{O})|\to\infty@@ 时在格空间 $X@@M@@|\Disc(K)|\to\infty@@ 在幺模格空间中均衡分布于 Haar 概率测度且无质量逃逸，把 Duke 型定理推Proves the abelian Zilber–Pink conjecture over \overline{\mathbb Q}: every irreducible subvariet…
@@M@@\overline{\mathbb Q}@@ 上证明了完整的阿贝尔簇（abelian variety）版 Zilber–Pink 猜想：任意子簇 @@M@@X@@ 相对其最小包含的特殊子簇只有有限多个极大非典型子簇，即”不大可能交点”不会太多@@M@@\mathcal A_2@@ 中 Zilber–Pink 猜想的 @@M@@E\times@@CM 分量：Hodge 一般的代数曲线上，对应阿贝尔曲面同源于”至少一个因子带复乘的椭圆曲线乘积”的点只有有限多个，@@M@@\mathcal A_2@@ 中任何 Hodge 一般代数曲线上，全几何自同态代数恰为 @@M@@\mathbb{Q}@@ 上不定四元数除代数的点只有有限多个——Zilber–Pink 猜想在 @@M@@\mathcal A_2@@ 曲线情形的四@@M@@\mathcal A_2@@（主极化阿贝尔曲面模空间）中任何 Hodge-通有代数曲线上，阿贝尔曲面同源于非 CM 椭圆曲线平方 @@M@@E^2@@ 的点只有有限多个；与两篇姊妹篇合并，无条件解决了 @@M@@\mathcal A_2@@ 中曲线情形Proves that the irrationality exponent of π is exactly 2: for every ε > 0 and all s…
@@M@@\mu(\pi)=2@@：对任何 @@M@@\nu>2@@，只要分母 @@M@@q@@ 充分大，一切有理数都满足 @@M@@|\pi-p/q|\ge q^{-\nu}@@。这一悬置七十余年的无理数指数（irrationality exponent）问题就此解Proves the Margulis–Platonov conjecture over every global field, including function fields of charac…
@@M@@G(k)@@ 的每个非中心抽象正规子群，恰为各向异性局部群乘积中开正规子群的对角原像——抽象群结构被@@M@@D_4@@ 与 @@M@@E_6@@ 三块最后的拼图。Proves that rational points on every smooth proper geometrically connected curve of genus at least t…
@@M@@2@@ 的 @@M@@p@@ 进曲线上任取有限多个互不相交的开圆盘，可以造出一个连通有限 étale 覆盖，使它在诸圆盘之外的整个外部区域上有一叶同构拷贝，而每个圆盘上方每个连通分量的度数都被 @@M@@p@@ 整除。这种”外部分@@M@@p@@ 进截面猜想：对 @@M@@\mathbb Q_p@@ 任一有限扩域上亏格至少 2 的光滑正常几何连通曲线，有理点与算术平展基本群的截面共轭类一一对应；结合既有有限下降定理，还推出 @@M@@X_0(N)@@、@@M@@X_1(N)@@ 等曲线上 GroProves the squarefree-values conjecture for irreducible integer quartics with no fixed prime-square …
@@M@@n^4+2@@ 无平方性问题就此解决；同时对 4–8 次不可约多项式建立 @@M@@(d-2)@@-幂自由值密度，并入 BrAnswers Jacobsthal’s quadratic-bound question: every interval of Ck^2 consecutive integers conta…
@@M@@k@@ 个不同素因子的 @@M@@n@@，长度 @@M@@\ll k^2/(\log\log(3k))^2@@ 的任意连续整数区间必含与 @@M@@n@@ 互素的数。这肯定了 Jacobsthal 的二次上界问题，并在 Iwaniec 的 $k^2\logProves that for every real shift γ and finite-valued \psi:\mathbb N\to[0,\infty), diverge…
@@M@@\gamma@@ 与取有限值的 @@M@@\psi@@，只要 @@M@@\sum_q\phi(q)\psi(q)/q@@ 发散，则对几乎处处的 @@M@@x@@，$|qx-\gamma|<\pProves unconditionally the all-primary-prime form of Patterson’s first-moment asymptotic: normalized…
@@M@@\frac65c_*X^{5/6}/\log X@@，且每个固定非零角 FGives an asymptotic equivalent for the number V(x) of distinct totient values up to x, wi…
@@M@@V(x)@@ 的显式渐近等价 @@M@@V(x)\sim\frac{x}{\log x}G_mA(1;\theta)@@，系数是有限算术数据的一致极限；并证明 @@M@@V(cx)/V(x)\to c@@，正面回答了 ErdősEvery rational a/b with 1\le a\lt b is a sum of O(\log\log b) distinct positive unit fra…
@@M@@b@@，任何真分数 @@M@@a/b@@ 都能写成至多 @@M@@O(\log\log b)@@ 个互不相同的单位分数之和，且这一双对数阶已是最优；附带确定了 1 的 @@M@@k@@ 项展开个数与”指定分母”缺失量均按For every fixed C > 0, a positive proportion of consecutive prime gaps exceed $C\log p_n…
@@M@@C>0@@，都存在 @@M@@c(C)>0@@，使得每个足够大的前 @@M@@N@@ 个素数里，相邻间隔 @@M@@p_{n+1}-p_n>C\log p_n@@ 者至少占比例 @@M@@c(C)@@；由此 @@M@@p_n/n@@ 递增的指标具有正下密度，肯定回答了Resolves the determinant-one curve case of Litt’s integral-density question. For every smooth connec…
@@M@@r@@，其 @@M@@\SL_r@@-特征簇的整点在某个数域的全整数环上必然 Zariski 稠密，且允许在穿孔处指定任意拟幺幂边界共轭类（含非半单类），并在每一分支上成立——肯定回答了 Litt 整密度问Proves the Gaussian moat conjecture: no infinite walk through distinct Gaussian primes can have unif…
@@M@@D@@，高斯素数图的连通分支（connected component）大小有一致上界 $Proves the infinitude assertion in Artin’s primitive root conjecture for every integer a that…
@@M@@-1@@ 也非平方数的整数 @@M@@a@@（包括 @@M@@a=2@@），一切充分大的区间 @@M@@(x,2x)@@ 内至少有 @@M@@c_a x/(\log x)^2@@ 个素数以 @@M@@a@@ 为原根，可容许基数@@M@@q_1,\dots,q_k@@ 可同时充当 @@M@@\gg x/(\log x)^2@@ 个素数 @@M@@p\in(x,2x)@@ 的原根，是 Artin 单基猜想的无条件路Proves the modularity conjecture for elliptic curves over imaginary quadratic fields: every elliptic…
Proves Uchida’s conjecture: every continuous open homomorphism between Galois groups of possibly inf…
Proves the rational Hodge conjecture for every complex CM abelian variety, in every dimension and co…
@@M@@(p,p)@@ 型有理上同调类都是代数闭链@@M@@V_P=\mathbb U_{\mathbb Q}^{\oplus2}\perp\langle-1\rangle^4@@ 的射影复 K3 曲面——包括全部 $P=\mathbb U\oplus D_8(-1)@@M@@(3,3)@@ 型的分裂 Weil 六维簇，以及一切维数不超过五的带虚二次作用阿贝尔簇；每个余维数、每个自幂都成立，且包含非单簇与带额外自同态的特殊Proves Campana’s orbifold Iitaka subadditivity conjecture for smooth Fujiki-class-\mathcal C man…
@@M@@\mathcal C@@ 紧复流形上系数取自 @@M@@[0,1]\cap\mathbf Q@@ 的 SNC 边界（含系数一），$\kappa(@@M@@\bar\kappa(V)\ge0@@ 时 $\bar\kappa(U)\ge\kappa(F)+\max{\bar\kappa(V),\operator@@M@@\kappa(X,K_X+E)\le\kappa(Y,K_Y+D)+\kappa(F,K_F+E_F)@@，与姊妹篇的次可加性相加得到可加性等式，正面解决 Popa@@M@@f:X\to Z@@ 都满足 @@M@@\kappa(X)\ge\kappa(F)+\kappa(Z)@@（@@M@@F@@ 为几何一般纤维）。此前仅有分情形与低维进展的Using logarithmic Iitaka subadditivity, proves log abundance in every dimension for normal compact K…
@@M@@d\ge4@@ 与有限有理系数集 @@M@@\Phi@@ 后，存在仅依赖 @@M@@d@@ 和 @@M@@\Phi@@ 的倍数 $a(d,\@@M@@\mathbb{Q}@@-分解的紧凯勒 klt 四维配对在伴随除子解析伪有效时必有好极小模型。论@@M@@\mathbb{Q}@@-Cartier 伴随除子必半充盈；在 @@M@@\mathbb{C}@@ 上还证明了@@M@@\mathbb{Q}@@-Cartier 伴随线丛，证明其在任意射影log消解上的极小半正度量处处 Lelong 数为零，回应了 Gongyo–Matsumura 的公开问题；并据此建立普通上同调@@M@@K_X@@ 伪有效即有 @@M@@H^0(X,mK_X)\ne 0@@；不设数值维数、非正则度或欧拉示性数条件，经 Hashizume 约化进一步给出四维 log canonical pair 的非消失，补齐四@@M@@m_0K_X-f^*H@@ 伪有效且几何一般纤维 @@M@@\kappa(F)=0@@ 时 @@M@@\kappa(X)=\dim Y@@；并由 Schnell 的既有归约导出 Campana–P@@M@@d\geq5@@、边界系数取自固定有限有理集的射影 log canonical 对，证明存在只依赖维数与系数集的次数 @@M@@m@@，使第 @@M@@m@@ 个完整舍入多重典范系已生成全部 Iitaka 域；并一致界定典范丛公式中模除子的 Car@@M@@d@@ 的多重典范次数 @@M@@m(d)@@，使 @@M@@|m(d)K_X|@@ 的截面比生成整个饭高函数域，一致定义所有 @@M@@\kappa\ge0@@ 的光滑射影 @@M@@d@@ 维簇的饭高纤维化；同时得到 lo@@M@@\mathbb Q@@-对成立：特征零域上射影 log Calabi–Yau 对中，系数不小于 @@M@@t@@ 的边界素分量在底域上的常量域次数被仅依赖维数与 @@M@@t@@ 的整数 $N(Uniform effective log Iitaka fibrations for fourfolds ｜ ⏳ 未形式化 ｜ 证明了四维有效 log Iitaka 猜想的有限有理系数情形：对系数取自固定有限集 @@M@@\Phi@@ 的射影 log canonical 四维组 @@M@@(X,\Delta)@@，存在仅依赖 @@M@@\Phi@@ 的统一次数 @@M@@m@@，使完备取整线性系 $ |
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@@M@@(X,\Delta)@@ 的实际 @@M@@\mathbb{Q}@@-Cartier 伴随 @@M@@K_X+\Delta@@ 只要解析 nef，且某Proves log abundance for projective log canonical threefold pairs over algebraically closed fields o…
@@M@@p>3@@ 的代数闭域上，射影对数典范（log canonical）三维对 @@M@@(X,B)@@ 的伴随除子 @@M@@K_X+B@@ 若为 @@M@@\mathbb{Q}@@-Cartier、nef 且数值维数（numerical dimension）等于@@M@@p>3@@ 的射影 @@M@@\mathbb{Q}@@-因子化终端（terminal）三维体 @@M@@X@@ 若 @@M@@K_X@@ nef 且数值维数 @@M@@\nu(K_X)=1@@，则 @@M@@K_X@@ 半丰富且 @@M@@\kappa(X,K_X)=1@@：某个正倍数 $mKProves numerical semiampleness for nef adjoints K_X+B+M with K_X+B pseudo-effective and M…
@@M@@K_X+B@@ 伪有效且 @@M@@K_X+B+M@@（@@M@@M@@ nef）为 nef 时，该伴随类的实 Bott–Chern 陈类必由某个半丰富（semiample）有理线丛代表。这是广义丰富性猜想从射影情形@@M@@K_X+B@@ 伪有效、@@M@@M@@ nef 且 @@M@@K_X+B+M@@ nef，则 @@M@@K_X+B+M@@ 必数值等价于一个半丰富 $\mathbb{@@M@@K_X+B+M@@ 伪有效时存在极小模型（nef 终点），否则得 Mori 纤维空间，且全程固定 nef b-除子数据。取 @@M@@M=0@@ 即恢复普通 log@@M@@n\geq 3@@、典范除子 @@M@@K_X@@ 伪有效且数值维数 @@M@@\kappa_\sigma(X,K_X)=1@@ 的光滑复射影簇，本文证明极小模型猜想在该情形成立：@@M@@X@@ 有 @@M@@\mathbb Q@@-因子终型（terminal）极小模型Proves the ordinary-double-point volume-gap conjecture: every singular complex algebraic klt germ of…
@@M@@n\ge2@@，证明了普通双重点（ordinary double point）体积间隙猜想：每个奇异的、边界为零的 klt 复代数 @@M@@n@@ 维芽的正规化体积至多 @@M@@2(n-1)^n@@，等号恰在解析普通双重点取到，从而完整刻画了”仅次@@M@@162=2\cdot3^4@@，等号恰在四维普通双重点取到；这是全维度猜想的归纳基例。Proves Fujita’s freeness conjecture at its sharp bound in every dimension: for a smooth projective c…
@@M@@n@@ 维光滑射影复簇 @@M@@X@@ 上，任意丰富线丛 @@M@@L@@ 拉伸 @@M@@n+1@@ 倍即可使伴随丛 @@M@@K_X+(n+1)L@@ 全球生成，且界不可改进。这Proves Nagata’s strict inequality \sum_i m_i\lt d\sqrt r for every nonzero effective plane curve…
@@M@@r\ge 10@@ 个非常一般复点上，任何带任意重数 @@M@@m_i@@ 的非零有效平面曲线必满足 @@M@@\sum_i m_i\lt d\sqrt r@@，以严格、非齐次的形式完全确立 Nagata 猜想，并给出爆炸曲面上多点 Seshadri@@M@@S@@ 与丰富线丛 @@M@@L@@，本文证明当点数 @@M@@r@@ 超过仅依赖 @@M@@(S,L)@@ 的阈值后，@@M@@r@@ 个非常一般点处的多点 Seshadri 常数恰等于体积上界 @@M@@\sqrt{L^2/r}@@，正面解决曲面上的定性 Nag@@M@@n\ge 3@@ 维光滑整复射影簇 @@M@@X@@ 与丰富线丛 @@M@@L@@，本文证明存在阈值 @@M@@r_0(X,L)@@，使 @@M@@r\ge r_0@@ 时 @@M@@r@@ 个非常一般点处的普通多点 Seshadri 常数恰等于体积界 @@M@@(L^n/r)^{1/n}@@，@@M@@p>0@@ 代数闭域上，光滑射影簇配丰富线丛存在阈值 @@M@@r_0@@：@@M@@r\ge r_0@@ 时几何一般点组的多点 Seshadri 常数恰为体积上界 @@M@@(L^n/r)^{1/n}@@，Nagata–Biran–Szemberg 断言在正特Proves Bloch’s conjecture: for every smooth connected projective complex surface S with $`p_g…
@@M@@p_g=0@@ 的光滑连通射影复曲面上，Albanese 映射 @@M@@\mathrm{CH}_0(S)^0\to\mathrm{Alb}(S)(\mathbb C)@@ 是同构；核心新定理是 @@M@@p_g=q=0@@ 时 $\Proves the strong hyperkähler SYZ conjecture: every holomorphic line bundle with nonzero nef isotrop…
@@M@@\PP^n@@，对一切维数与形变类型成立，完全解决了”射影空间基猜想”（projective-space base conjecture）。@@M@@b_2\ge5@@ 时每个偶维数只有有限多个光滑形变类型。Proves that every complex K3 surface is Oka, including nonprojective surfaces. More generally, every…
Proves P_k=W_{2k}=W_{2k+1} on the full rational cohomology of smooth coprime fixed-determinant, …
@@M@@n\ge4@@ 非素数）、次数与秩互素的情形下，证明了固定行列式 @@M@@\mathrm{SL}_n@@ Higgs 模空间上完整形式（整个有理上同调、含变体部分）的 @@M@@P=W@@ 猜想；与已知素秩定理合并，固定行列式的 @@M@@P=W@@ 在Proves the equivariant cohomological Hikita correspondence for every finite quiver, including loops …
Constructs a smooth projective complex fourfold with large fundamental group whose universal cover c…
@@M@@X@@：其万有覆盖 @@M@@\widetilde X@@ 不含任何正维数的紧复解析子簇，却不是 Stein 流形。这否定了 Shafarevich 全纯@@M@@X@@，其中一条全由有理曲线组成的连通节点曲线 @@M@@Z_0@@ 的基本群在 @@M@@\pi_1(X)@@ 中的像无限；其万有覆盖因此不是全纯凸的——Shafarevich 全纯凸性猜想在复维数二被否定。Constructs an integral complex affine fourfold X\not\cong\mathbb A^4 with $`X\times\mathbb A^1\c…
@@M@@X@@：乘一条仿射线后 @@M@@X\times\mathbb A^1\cong\mathbb A^5@@，但 @@M@@X\not\cong\mathbb A^4@@。这否定了特征 @@M@@0@@ 下维数 @@M@@4@@ 的 ZariskConstructs a singular normal affine complex surface with free rank-two tangent sheaf, disproving the…
@@M@@2@@，而环不正则。这推翻了特征零下的 Lipman–Zariski 猜想——”切层局部自由的代数簇必光滑”。Constructs a polynomial in four complex variables that is not a coordinate but becomes one after adj…
@@M@@f@@：添加一个独立变量后，@@M@@R[w]@@ 的自同构能把 @@M@@f@@ 送到 @@M@@x_1@@，而 @@M@@R@@ 的自同构不能，从而在四变量情形推翻稳定坐标猜想；@@M@@f@@ 的每条纤维都同构于 @@M@@\mathbb A^3@@ 但嵌入不可矫正@@M@@\mathbb C[h,u,v,w]@@ 中显式构造多项式 @@M@@F@@：零超曲面同构于 @@M@@\mathbb A^3@@（商环为 @@M@@\mathbb C^{[3]}@@），但 @@M@@F@@ 不是坐标，从而否定 Abhyankar–Sathaye 嵌入猜Constructs ample rank-two bundles on \mathbb P^1\times\mathbb P^1 with no smooth Hermitian metri…
@@M@@\mathbb P^1\times\mathbb P^1@@ 上构造显式秩二向量丛 @@M@@G@@：沿坐标取幂映射拉回并扭 @@M@@\mathcal O(1,1)@@ 得到的 @@M@@E_m@@ 对每个 @@M@@m@@ 都充足，却对充分大的 @@M@@m@@ 都不容Every compact connected Kähler manifold of positive complex dimension with no nonconstant entire cur…
@@M@@K_X@@ 必丰富，流形必为射影代数簇。猜想在光滑紧 Kähler 范畴的完整正面解决。A splitting of the tangent bundle of a compact Kähler manifold into two integrable holomorphic subbu…
Constructs a tautological relation on a moduli space of stable pointed curves that vanishes in ratio…
@@M@@g=10^{60}@@、标记点数 @@M@@n=3\binom{10^{60}}{3}@@ 的稳定曲线模空间上，本文显式构造了一个重言类 (tautological class) @@M@@Y@@：它在有理 Chow 环 (Chow ring) 中为零For every sufficiently large admissible Hassett discriminant, a very general smooth complex cubic fo…
@@M@@d@@，判别式为 @@M@@d@@ 的超一般三次四重态 @@M@@X@@ 虽同时拥有”几何 K3 范畴”@@M@@\mathcal{K}u(X)\simeq D^b(\operatorname{Coh}S)@@ 与Proves Toda’s Gepner conjecture for every smooth complex quintic threefold, constructing a numerical…
@@M@@2\pi/5@@、把半稳定相位平移 @@M@@2/5@@，从而证@@M@@K_X\simeq\OO_X@@）的光滑投影复三维流上，作者对一切足够大的体积参数构造出中心荷精确等于普通与平方根 Todd 大体积荷的数值 Bridgeland 稳定性条件，且一个阈值统管实扭曲与丰富方向的一个开集；另在Proves termination of every existing generalized log canonical flip sequence on globally Weil ℚ-fact…
@@M@@\mathbb{Q}@@-因子化或伪有效性，且每条负射线都有所需的收缩与正模型。@@M@@K_X+\Delta@@ 伪有效时终于 nef 模型，否则终于射影 Mori 纤维空间。四维 MMP 的终止性由此从”射影且伴随除子有效”的特殊情形@@M@@K_X+\Delta@@ 伪有效时终于 nef 模型，否则终于射影 Mori 纤维空间。四维 MMP 的终止性由此从”射影且伴随除子有效”的特殊情形Proves Campana’s abelianity conjecture: special compact Kähler manifolds have virtually abelian fund…
@@M@@X@@ 配系数 @@M@@\tfrac12@@ 的光滑连通除子 @@M@@D@@，若其二阶根 orbifold special，则其 orbifold 基本群Proves the Kollár–Pardon conjecture: the semialgebraic universal covers of connected normal projecti…
@@M@@\times@@ 复仿射空间 @@M@@\times@@ 单连通正规射影簇”的乘积。由此推出：被 @@M@@\mathbb C^n@@ 覆Disproves Zariski’s multiplicity conjecture by constructing reduced holomorphic hypersurface germs t…
@@M@@\mathbb{C}^4@@ 中给 Zariski 重数问题以否定答案。Every connected minimal compact complex surface of class VII with b_2\gt 0 contains a global sph…
Proves the LeBrun–Salamon conjecture: every closed connected positive quaternionic-Kähler manifold o…
@@M@@4m\geq 8@@ 的闭正四元数 Kähler 流形必与Proves the generalized Mukai conjecture: every positive-dimensional smooth complex projective Fano m…
@@M@@n@@ 维光滑复 Fano 流形的 Picard 数 @@M@@\rho@@ 与伪指数 @@M@@\iota@@ 必满足 @@M@@\rho(\iota-1)\le n@@，等号恰在 $X\cong(\mathbb P^{\iProves topological right-triviality for every holomorphic one-parameter family of isolated hypersurf…
@@M@@\mathbb C^3@@ 中孤立超曲面奇点的全纯单参数族只要 Milnor 数（Milnor number）@@M@@\mu@@ 恒定就必拓扑右平凡。@@M@@\mu@@ 常数问题在唯一遗留的曲面维数上得到肯定答案——单凭 @@M@@\mu@@ 这一个数，确Proves the full ordinary unreduced descendant Virasoro conjecture for smooth complete intersections …
@@M@@B@@ 满足全套普通含后代 Virasoro 约束，则任意秩 @@M@@r\geq2@@ 代数向量丛 @@M@@E@@ 的射影化 @@M@@X=\mathbb P_B(E)@@ 也满足——不要求 @@M@@E@@ 分裂或具正性，覆盖每个亏格、每条Proves the finite-rational-coefficient form of Shokurov’s bounded-klt-complement conjecture for ϵ…
@@M@@d@@ 与正有理数 @@M@@\epsilon@@ 固定后，特征零代数闭域上任何 @@M@@\epsilon@@-lc 的 Fano 收@@M@@\epsilon@@-lc 的 Fano type 收缩过任一指定基点，都能取到经过该点的 Cartier 除子，其拉回的 log canonical thresholdProves the Campana–Peternell conjecture in complex dimension six: every smooth connected complex pro…
@@M@@G/P@@，从而解决六维 Campana–Peternell 猜想；核心新步骤是伪指标为 @@M@@5@@ 的情形，最终识别出 $X\simeq\operatorname{If X is a smooth connected complex projective variety and -K_X admits a smooth Hermitian …
@@M@@X@@ 上若 @@M@@-K_X@@ 容许曲率半正的光滑 Hermitian 度量，则存在正整数 @@M@@m@@ 使 @@M@@H^0(X,-mK_X)\ne0@@，且对任意维数一致成立。@@M@@\mathbb Q@@-因子 klt 对证明了”有界度量非消没”判据：反典范除子 nef、拉回在消解上有局部有界半正度量、结构层 Euler 特征非零，则正 Cartier 倍数必有截面；再用 GIT 环面商推出光滑有理连通簇上的自@@M@@-K_X@@ 带光滑半正度量的光滑射影复簇 @@M@@X@@，本文证明不变量转移定理：带固定伪有效误差的无界度数环面不变截断必产生某个正度数的无挠不变截断；结合紧环面单群结构作下降，最终得到任意维数的反典型非消没 $H^0(X,-mK_X)\ne@@M@@A_0@@ 的无权可积半正度量，并证明保持一般截断与伴随秩的收缩定理，从而在无正次全纯形式的簇上得到环面不变的反典型截断。@@M@@-K_Y+C@@ 的度量有整体严格曲率下界且 @@M@@C@@ 的典范截断局部平方可积，则任何伪有效有理除子经支集含于 @@M@@C@@ 的有效修正后即有理有效；据此建立固定误差转化定理，把反典型非消没推进到任意维数。@@M@@-K_X@@ 带半正曲率的光滑度量时，沿任意中心赋值归一化阶趋于零的有效除子列，必极限为一个有理线性等价于 @@M@@-K_X@@ 且在该赋值处阶恰为零的有效除子，为族内 $H^0(X,-mK_X)Proves the unramified de Rham quantum geometric Langlands equivalence for every connected simple com…
@@M@@G@@、任意光滑射影连通复曲线 @@M@@X@@ 与任意 @@M@@c\in\mathbb C\setminus\mathbb Q@@（含非实级别），扭曲 @@M@@D@@-模范畴 $D_c(\operatornResolves the existence part of Koebe’s circle-domain conjecture: every domain in the Riemann sphere …
Proves Brennan’s conjecture: for every conformal bijection ϕ from a simply connected plane do…
@@M@@\varphi@@ 都使 @@M@@|\varphi'|^s@@ 面积可积（@@M@@4/3<s<4@@），并确定 schlicht 类的精确逆平方积分均值指数 $B_{\math@@M@@M_{-1}[f'](r)\le C(1-r)^{-1/4+\varepsilon}@@，从而有界单叶类的普适积分均值谱满足 @@M@@B_b(-1)<1/4@@，推翻了 Kraetzer 谱猜想在 $p=-1Resolves the Falconer distance conjecture in every dimension d ≥ 2: every compact set $`E\sub…
@@M@@d\ge2@@ 证明了 Falconer 距离猜想：紧集 @@M@@E\subset\mathbb{R}^d@@ 的 Hausdorff 维数只要严格超过 @@M@@d/2@@，其欧氏距离集就必有正勒贝格测度。这一悬置四十年的临界指标问题被彻底Resolves the Kakeya maximal conjecture in three dimensions and the Hausdorff-dimension conjecture in…
@@M@@\varepsilon>0@@，半径 @@M@@\delta@@ 的单位长度管上的极大平均算子 @@M@@K_\delta@@ 从 @@M@@L^3(\mathbb R^3)@@ 到 @@M@@L^3(S^2)@@ 的算子范数不超过 $C@@M@@\mathbb R^4@@ 中任何在每个方向含单位线段的集合，不论是否可测、是否紧致，Hausdorff 维数必为 @@M@@4@@。这使该猜想首次在四维对完全无正则性假设的集合成立。L\log L$ Fourier-convergence conjectureProves that the ordinary symmetric Fourier partial sums of every complex-valued function in $`L\log …
@@M@@L\log L@@ 类复值函数的对称傅里叶部分和沿完整序列几乎处处收敛于函数自身。这解决了自 Carleson 定理以来悬置近六十年的”@@M@@L\log L@@ 充分性”端点猜想。Constructs polynomials with N consecutive coefficients in {-1,1} whose modulus is $`(1+…
@@M@@\pm1@@）可以是”超平坦”的：对每个足够大的长度 @@M@@N@@，都能选一组符号，使多项式在单位圆上每一点的模都落在 @@M@@(1\pm\varepsilon)\sqrt N@@ 之间，包括 $z=\p@@M@@\pm1@@ 的 Littlewood 多项式，在单位圆上每一点的模同时满足下界 @@M@@\frac{1}{16}\sqrt N@@ 与几乎最优的上界 @@M@@(1+\eta)\sqrt N@@——”最大模几乎取到 Parseval 下@@M@@N@@、系数全为 @@M@@\pm1@@ 的实 Littlewood 多项式在单位圆上的最大模最小值是 @@M@@(1+o(1))\sqrt N@@，恰好取到 Parseval 下界的渐近值，推翻了 Erdős 固定相对间隙猜想的实符号版本；由此Proves the diagonal Fourier extension conjecture for positively curved surfaces in three dimensions.…
@@M@@L^\infty(S^2)@@ 有界地映入 @@M@@L^p(\mathbb R^3)@@ 对一切 @@M@@p>3@@；显式反例表明@@M@@\Sigma\subset\mathbb R^3@@（可带光滑边界），@@M@@E_\Sigma@@ 从 @@M@@L^p(\Sigma)@@ 有界映到 @@M@@L^p(\mathbb R^3)@@ 对一切 $3<pResolves the three-dimensional Bochner–Riesz conjecture in its strict range: the Bochner–Riesz multi…
@@M@@\delta>0@@，球磨光乘子 @@M@@(1-|\xi|^2)_+^\delta@@ 在 @@M@@L^3(\mathbb R^3)@@ 上有界，经插值与对偶推出全部临界范围 $\deltaResolves Sogge’s local smoothing conjecture for the Euclidean wave equation in three spatial dimensi…
@@M@@L^3@@ 局部光滑（local smoothing）估计：对任意 @@M@@\varepsilon>0@@ 均有 $|Uf|{L^3(\mathbb{R}^3\times[1,2])}\le C\vaProves almost-everywhere convergence e^{it\Delta}f\to f as t\downarrow0 for every $`f\in H^{…
@@M@@f\in H^{1/3}(\mathbb R^2)@@ 时，Schrödinger 演化在几乎处处的点上随 @@M@@t\downarrow0@@ 收敛回 @@M@@f@@，正则性恰好@@M@@n\ge3@@，当初值属于临界空间 @@M@@H^{n/(2(n+1))}(\mathbb R^n)@@ 时，自由 Schrödinger 演化几乎处处随 @@M@@t\downarrow0@@ 收敛回归初值；高维 Carleson 收敛问题的 SResolves the remaining higher-codimension Riesz-transform rectifiability problem: for d ≥ 4 a…
@@M@@d\ge4@@、@@M@@2\le n\le d-2@@ 内，论文证明：只要 @@M@@n@@ 维 Ahlfors–David 正则测度的 Riesz 变换（Riesz transform）在所有正硬截断下共享一个 @@M@@L^2@@ 算子界，Proves maximal and annular r-variation bounds, for every r > 2, from complex $`L^3(…
@@M@@r@@-变差（annular @@M@@r@@-variation）估计：对一切 @@M@@r>2@@，变差算子 @@M@@V_r@@ 从复 @@M@@L^3\times L^3@@ 有界映到 @@M@@L^{3/2}@@，且变差分割可随输出点任取。@@M@@L^3\times L^3\times L^3@@ 估计：任意有限尺度集上所有局部贡献的绝对值之和不超过 @@M@@40\prod_v\|F_v\|_3@@；取绝对值之和使模不超过一的系数可随区间三元组独立@@M@@\|B_*(F,G)\|_{L^{3/2}}\le C\|F\|_3\|G\|_3@@，上确界取遍两个硬截断端点且可逐点选取；由此得到联合几乎处处与 @@M@@L^{3/2}@@ 主值收敛，并肯定地Proves a uniform strong L2 bound for the planar Hilbert transform along any Lipsch…
@@M@@L^2@@ 界，从而在短For every fixed q\in(0,1), constructs compact subsets of [0,1] with measure arbitrarily clos…
@@M@@q\in(0,1)@@，本文构造出测度大于 @@M@@1-\eta@@ 的紧集 @@M@@E_{q,\eta}\subseteq[0,1]@@，使其不含几何数列 @@M@@\{q^n:n\ge1\}@@ 的任何”平移＋非零伸缩”拷贝（伸缩可正可负）。几何@@M@@1@@ 的紧集 @@M@@E\subseteq[0,1]@@，使其不含二进数列 @@M@@\{2^{-n}:n\ge1\}@@ 的任何平移与任意非零实伸缩（正负皆可）的仿射拷贝：二进数列不是度量普适集，Erdős 相似猜想的二进情形获Resolves the planar centered-disk case of the Hajłasz–Onninen maximal-function regularity problem. F…
@@M@@f\in W^{1,1}(\mathbb R^2)@@，中心圆盘极大函数 (centered disk maximal function) 满足 $|\nabla Mf|_1\le C|\nabla f|Proves that the principal-value trilinear Hilbert transform with shifts x-t, x-2t, x-3t …
@@M@@L^3(\mathbb R)\times L^3(\mathbb R)\times L^3(\mathbb R)@@ 有界Resolves the symmetric and nonsymmetric geometric Mahler conjectures in every dimension, with Hanner…
@@M@@K\subset\mathbb R^n@@ 的体积乘积满足 @@M@@|K|\,|K^\circ|\ge 4^n/n!@@，等@@M@@K\subset\mathbb R^n@@ 在 Santaló 点处的体积乘积满足 @@M@@|K|\,|(K-s(K))^\circ|\ge (n+1)^{n+1}/(n!)^2@@，@@M@@n\ge2@@ 与每个原点对称凸体 @@M@@K@@，相空间极积 @@M@@\operatorname{int}K\times\operatorname{int}K^\circ@@ 的 Gromov 宽度恰为 4——每个容量 @@M@@c<4@@ 的标Proves Petty’s projection-volume conjecture in the remaining dimensions n ≥ 4: ellipsoids uni…
@@M@@n\ge 4@@ 维成立：体积固定的凸体中，椭球、且仅有椭球，使其投影体的体积最小。与陈等人此前证得的三维结果合并，这个 1971 年提出的仿射等周型猜想在全部 @@M@@n\ge 3@@ 维度获得解决。@@M@@T_{10}\times T_{10}@@ 的规范化投影体体积严格超过二十维单形，推翻 Brannen 1996 年”单形使投影体体积最大”的猜想；且高维中超出的倍数随维数指数增长。Resolves the planar and bounded-treewidth cases of the Gupta–Newman–Rabinovich–Sinclair conjecture. …
@@M@@C@@ 的失真（distortion）嵌入实 @@M@@L_1@@，肯定地解决 Gupta–Newman–Rabinovich–S@@M@@L_1@@，肯定解决 Gupta–Newman–Rabinovich–Sinclair 猜想的有界树宽Proves that the triangular lattice minimizes the lower limit of energy per particle for every nonneg…
@@M@@0\le s<2@@ 的对数与 Riesz 势，三角格最小化重整化能量与 jellium 热力学能量，兑现了@@M@@f@@：在 @@M@@|x|\ge1@@ 处非正、Fourier 变换处处非负、且 @@M@@f(0)/\widehat f(0)=2/\sqrt3@@，使 Cohn–Elkies 线性规划上界在平面达到精确的最Proves the logarithmic Brunn–Minkowski inequality for origin-symmetric convex bodies in every dimens…
@@M@@0<p<1@@ 的加性 @@M@@L_p@@ 不等式与 @@M@@(B)@@-猜想。Determines the optimal worst-case covering density as \Theta(n\log n), for both lattice and unre…
@@M@@n@@ 维凸体都容许密度至多 @@M@@Cn\log n@@ 的单格覆盖，消除了此前最好结果残留的迭代对数因子；与已有下界相配，最坏格点覆盖密度的阶被确定为 @@M@@\Theta(n\log n)@@。@@M@@cn\log n@@，否定了一致线性上界猜想；与 Rogers 上界相配，最坏平移覆盖密度的阶被钉在 @@M@@\Theta(n\log n)@@。Proves a dimension-free logarithmic Sobolev inequality for centered log-concave densities with unifo…
@@M@@a@@），其对数 Sobolev 常数就被 @@M@@Ca^2@@ 控制，@@M@@C@@ 与维数无关；此前最好结果For every fixed 1\lt p\lt \infty and distortion D > 1, every n-point subset of …
@@M@@1<p<\infty@@、@@M@@p\ne2@@ 与任意畸变 @@M@@D>1@@：任何 @@M@@n@@ 点 @@M@@L_p@@ 度量都能以畸变至多 @@M@@D@@ 嵌入 @@M@@\ell_p^d@@，且 $d\le\exp\bigl(C_{p,D}(\log n)^{Disproves the Projected Lax conjecture: some hyperbolicity cones are not spectrahedral shadows. The …
@@M@@100\times100@@ 齐次对称铅笔加 307 个辅助变量，覆盖含奇异边界点的整个闭锥——该锥不是谱面，却是谱面影子。Proves that the sum of squared Gaussian first moments of any finite measurable partition is at most …
@@M@@9/(8\pi)@@，当 @@M@@d\ge 2@@、@@M@@k\ge 3@@ 时由三个 @@M@@2\pi/3@@ 平面扇形Proves that any finite sequence in the Euclidean unit ball of ℝd admits signs keep…
@@M@@C\sqrt d@@（绝对常数 @@M@@C@@ 与序列长度无关），进而解决 Steinitz–Bergström 猜想，将欧氏 Steinitz 常数确定为 $S_2(Every infinite-dimensional real Banach space contains a compact doubling set that admits no bi-Lipsc…
@@M@@\ell_2@@ 中固定的加倍（doubling）子集 @@M@@S@@，其加倍常数不超过 @@M@@76800@@，却不能以任何有限失真（distortion）双 Lipschitz 嵌入任何有限维欧氏空间，对 Lang–Plaut 问题给出否定Determines the least distortion of embedding edit distance on words of length at most d into …
@@M@@d@@ 的串在单位代价编辑距离下嵌入 @@M@@\ell_1@@ 的最小失真恰为 @@M@@\exp(\Theta(\sqrt{\log d\,\log\log d}))@@，对一切至少二元的字母表一致成立，把此前仅 $\Omega(\log@@M@@\ell_1@@ 的失真下界 @@M@@\exp(\Omega(\sqrt{\log d\,\log\log d}))@@ 提供两个互相独立的”有限圆”构造（均为二进制等长词），并把 Ostrovsky–Rabani 上界方法发展@@M@@d@@ 都存在长度不超过 @@M@@d@@ 的等长二进制词有限集，其编辑距离度量嵌入 @@M@@\ell_1@@ 的失真至少 @@M@@\exp(c\sqrt{\log d\,\log\log d})@@，与姊妹篇上界Covers the entire closed regular tetrahedron by finitely many cylinders with compact triangular perp…
@@M@@C^1@@ 速度场（特征值 @@M@@\pm\lambda@@ 且 @@M@@0\le L\lambda<1@@，含无剪切上限的平方零微分）导出的紧线段连续族，可用有限个方形砖圆柱覆盖，垂直底面积至@@M@@\tfrac12A_{\min}@@ 的有限覆盖，同时否定半面积问题与 1-余维圆柱@@M@@A_{\min}(K)/2@@ 的正四面体有限覆盖，同时否定 Bang 的半面积界与方向归一化的一维余维圆柱覆Proves that simplices uniquely maximize the isotropic constant among convex bodies in every dimensio…
@@M@@h(f)\ge m+\tfrac12\log\det\Cov(f)@@，等号恰为一侧指数律乘积的可逆仿射像。Proves Khot’s Unique Games Conjecture. Independent direct reductions also establish NP-hardness, on …
@@M@@\varepsilon,\delta@@，存在从 3SAT 到唯一博弈的确定性多项式归约，完整度接近 @@M@@1@@ 而可@@M@@\alpha_{\mathrm{GW}}\approx 0.8786@@ 的任何固定比率都是 NP 难的。1995 年的半定规划算法@@M@@\alpha<2@@ 都 NP 难近似。教科书级的”极大匹配给因子 @@M@@2@@“由此成为最终阈值，且结论不再依赖唯一博弈猜想。@@M@@C>1@@，在简单无向无权图上把 Min-UnCut 近似到 @@M@@C@@ 因子以内是 NP-hard 的。该结果完全不依赖唯一游戏猜想，把此前无条件硬度只做到约 @@M@@1.49@@ 因子的纪录一举推进到所有常数因子。@@M@@A\ge1@@，在无权有向图上把最小反馈顶点集近似到 @@M@@A@@ 因子是 NP-hard 的。此前这一结论依赖唯一游戏猜想，本文把它变成不附带复杂性假设的普通 NP-hardness。\mathsf L=\mathsf{RL}=\mathsf{BPL}$Proves \mathsf L=\mathsf{RL}=\mathsf{BPL}, resolving derandomization for bounded-error logarithm…
@@M@@\mathsf L=\mathsf{RL}=\mathsf{BPL}@@：多项式时间的对数空间随机计算，无论单侧错误还是双侧错误，都能被确定性对数空间 (logarithmic space) 机器等价模拟，并给出带显式多项式时间界的Gives deterministic algorithms using 2^{O((\log(L+2))^2)} bit operations, for complete binary in…
@@M@@L@@ 下用 @@M@@2^{O((\log(L+2))^2)}@@ 次位操作精确求出，概率分母与奖励的数值大小不再进入复@@M@@L@@ 下用 @@M@@2^{O((\log(L+2))^2)}@@ 次位操作，精确算出 Max 能同时强制非负下极限平均收益与奇@@M@@2^{O((\log(L+2))^2)}@@ 次位操作；经归约还能在同界内算出每个顶点的精确有理值与双方全局最优位置策略。本篇是结果族 104 另两篇的算法基石。@@M@@2^{O((\log(L+2))^2)}@@ 次位运算（@@M@@L@@ 为显式输入总长），就以至少 @@M@@7/8@@ 的概率输出完整零阈值获胜集Proves Khot’s 2-to-1 Games Conjecture with perfect completeness: for every fixed rational $`\delta\i…
@@M@@\delta\in(0,1)@@，区分”完全可满足”与”值至多 $It is NP-hard to color a three-colorable graph using any fixed number c ≥ 3 of colors. More s…
@@M@@0<\delta<1/3@@，区分三着色图与”所有独立集都少于 @@M@@\delta n@@ 个顶点”的图是 NP 难的；从而对每个固定 @@M@@c\ge3@@，给三着色图找 @@M@@c@@-着色是 NP 难的——困扰理论计算机科学界三十余年Proves \omega\le9/4 over ℂ, giving O_\varepsilon(n^{9/4+\varepsilon}) arithmetic operations …
@@M@@\omega\le 9/4=2.25@@：对任意 @@M@@\varepsilon>0@@，两个 @@M@@n\times n@@ 复矩阵只需 @@M@@O_\varepsilon(n^{9/4+\varepsilon})@@ 次算术运@@M@@\omega<1129/500=2.258@@、对偶指数 @@M@@\alpha>0.465@@、矩形乘法指数 @@M@@\omega(1,0.709,1)<2.092@@，并把前两条严格不等式转移到除有限个@@M@@\mathbb F@@——包括所有正特征域——方阵乘法的算术指数满足 @@M@@\omega_{\mathbb F}<2.371054886006746@@，小幅超越 Dupont 等人 2026 年的 2.371177；算法逐Proves an \Omega(n^3) lower bound for the border determinantal complexity of the n\times n p…
@@M@@m\times m@@ 积和式（permanent）的 border 行列式复杂度为 @@M@@\Omega(m^3)@@：即便允许任意仿射线性矩阵的行列式做逐系数极限逼近，矩阵阶数仍须至少 @@M@@c\,m^3@@。长期停留在平方级的这一下界首次被n\log n$Multiplies two n-bit integers exactly at every input length in deterministic worst-case time …
@@M@@n@@ 位整数的乘积，最坏时间 @@M@@O(n(\lg n)^{1-2^{-182}})@@：在普通多带比特模型中严格跌破 @@M@@n\log n@@，推翻了 Schönhage–Establishes a randomized competitive ratio O(\log^2(k+1)) for k-server on every metric sp…
@@M@@k@@-server 对不经意请求序列可达竞争比 @@M@@O((\log(k+1))^2)@@，与已知最坏情形下界 @@M@@\Omega(\log^2 k)@@ 同阶，首次锁定了这一基本在线问题随机竞争比的精确阶数。@@M@@O(\log^2(k+1))@@ 竞争比，第 @@M@@t@@ 个请求的计算量仅随 @@M@@\lceil\log_2(t+1)\rceil@@ 多项式增长，代价是可能巨For every finite matroid known in advance, gives a distribution-independent online rule using one in…
Constructs a single language in deterministic polynomial time whose n-bit membership function…
@@M@@n@@ 位成员函数在无界扇入 OR–AND–OR 电路中所需总门数，在一切充分长的长度上超过 @@M@@2^{A\sqrt n}@@（@@M@@A@@ 为任意常数），即达到 @@M@@2^{\omega(\sqrt n)}@@，首次突Gives a fully polynomial randomized approximation scheme for counting perfect matchings in arbitrary…
@@M@@\varepsilon^{-1}@@ 与 @@M@@\log\delta^{-1}@@，无完美匹配时确定性输出零，正面解决了 Jerrum–SinclaiEntropy and Face Dimension of the Perfect-Matching Polytope ｜ ✅ 已形式化 ｜ 证明 Anari–Oveis Gharan–Vinzant 的完美匹配熵猜想：任意可行边边际 @@M@@x@@ 处匹配律的最大熵满足 @@M@@F(x)-(2-2/m)B(x)\le H(x)\le F(x)@@（含边界），并证得锐的面维数界 $ |
\supp |
Gives a fully polynomial randomized approximation scheme for counting common integer bases of two in…
For nonnegative integer matrices with prescribed row and column sums, gives exact uniform sampling i…
@@M@@2^{-k}@@ 的近似均匀采样器，取消了正性、稀疏、平衡、固定维数等全部旧假设。For each characteristic, constructs in deterministic polynomial bit time a polynomial-dimensional ma…
@@M@@p@@，一台确定性算法仅凭 @@M@@p@@、变量数 @@M@@n@@ 与公式规模 @@M@@s@@，在多项式比特时间内输出一组 @@M@@O(n^3s^6)@@ 维的 @@M@@\mathbb F_p@@ 矩阵，它同时检测特征 @@M@@p@@ 的一切域（含任意扩域与 @@M@@p=2@@）上所@@M@@n@@ 与公式规模 @@M@@s@@，在多项式比特时间内构造一组维度 @@M@@\le2ns^2@@ 的有理矩阵，使每个规模 @@M@@\le s@@ 的非零非交换公式代入后非零——单个矩阵元组即构成多项式大小的黑盒打击集。@@M@@n@@ 与规模 @@M@@s@@，在多项式比特时间内输出多项式大小的有理矩阵列表，使每个非零且可采纳的公式在某个元组处求值有定义且取值可逆，把黑盒有理恒等测试的打击集从拟多项式降到多项式规模。Proves that approximating Uniform Sparsest Cut within any fixed constant factor is NP-hard, even wit…
@@M@@C>1@@，把均匀最稀疏割近似到 @@M@@C@@ 因子是 NP-难的，且实例容量为非负有理数、每对不同顶点需求恰为 @@M@@1@@。这是不依赖任何复杂度假设的常因子不可近似性，封死了该问题的多项式时间常数比近似。@@M@@1@@ 的最稀疏割实例，其 Goemans–Linial 半定松弛的积分间隙至少为 @@M@@c\sqrt{\log n}/(\log\log n)^3@@，把均匀需求下的已知下界推进到近乎匹配 Arora–Rao–VazDisproves the modified integer round-up conjecture of Scheithauer and Terno: the integral bin-packin…
@@M@@\OPT\le\lceil\LP\rceil+1@@）；并且Proves the Courtade–Kumar conjecture: among Boolean functions of independent uniform bits, a single …
@@M@@\sqrt{1-m^2}-\mathbb E\sqrt{1-(T_\rho f)^2}@@ 不超过单个坐标的损失 @@M@@1-\sqrt{1-\rho^2}@@，等号由带Gives a randomized algorithm finding an exact maximum-cardinality matching in any simple undirected …
@@M@@(n+m)^{1+o(1)}@@ 时间内精确求出，成功概率至少 @@M@@2/3@@，且时间界在每条计算路径上成立；同一方法把 @@M@@f@@-因子判For every fixed rational \varepsilon\in(0,1), gives a randomized (1+\varepsilon) approximati…
@@M@@\varepsilon\in(0,1)@@，存在随机算法在 @@M@@N^{1+o(1)}@@ 的最坏情形期望时间内，把总长 @@M@@N@@ 的两串的编辑距离估计到 @@M@@(1+\varepsilon)@@ 因子以内（成功概率 $\geAt every fixed deletion probability in (0,1), reconstructing an arbitrary length-n binary…
@@M@@n@@ 与有理保留概率 @@M@@p@@ 已知，对每个固定 @@M@@p@@ 用拟多项式条轨迹与拟多项式位复杂度即可重构任意二进制串，把此前只有样本界的@@M@@\exp(O(p^{-1}(\log n)^3(1+\log\log(2n))^6))@@：固定保留概率 @@M@@p@@ 时拟多项式条轨迹足够，删除概率 $\le@@M@@q\in(0,1)@@，即使计算不限、成功概率只需固定正值，精确重构任意 @@M@@n@@ 长二进制词需要 @@M@@n^{\Omega(\log\log n)}@@ 条轨迹，否定”多项式样本足够”的猜想；一般地当 $q^3\loResolves the three-processor unit-job scheduling problem of Garey and Johnson: a deterministic polyn…
@@M@@P3\mid\mathrm{prec},p_j=1\mid C_{\max}@@ 属于 P：三台相同机器、单位时长、任意前序约束的排序存在确定性多项式时间精确算法，可构造最优排程并精确判定截止期可行性，解决悬置近五十年的 GareGives a deterministic polynomial-time (1+2/e+\varepsilon)-approximation for finite rational metr…
@@M@@k@@-中值（metric @@M@@k@@-median）问题打造两件工具：坏簇数仅为对数时仍可多项式完成的”锚点恢复”算法，以及对剩余构造一次相容执行的”有界价格严格性”支付论证；合并后首次在一般有理度量上得到严格小于 2 的随机 $@@M@@k@@-中值给出任意固定 @@M@@\varepsilon>0@@ 的确定性多项式时间 @@M@@(1+2/e+\varepsilon)@@-近似算法；结合 Max-@@M@@k@@-Coverage 的 @@M@@1+2/e@@ 硬度，在 $Proves that every exact semidefinite lift of the perfect matching polytope has exponential size, ans…
@@M@@0<\rho<1@@，奇割—完美匹配矩阵 @@M@@|M\cap\delta(U)|-1+\rho@@ 的实半定秩（PSD rank）至少为 @@M@@2^{cn}@@；因此完全图完美匹配多面体的任何精确半定提升（semidefinite lifProves that a degree-at-most-d polynomial threshold function on the uniform n-dimensio…
@@M@@n@@ 维布尔立方体上次数至多 @@M@@d@@ 的多项式阈值函数（polynomial threshold function），其平均灵敏度（average sensitivity）不超过 @@M@@8d\sqrt n@@，常数绝对、@@M@@d@@ 可随Gives a deterministic polynomial-time algorithm constructing a common superstring of length at most …
Proves exponential lower bounds both for complementing two-way nondeterministic finite automata and …
@@M@@n\ge4@@ 构造 @@M@@n@@ 状态的 2NFA，识别其补语言的任何 2NFA 至少需要 $\tfrac12 2^{\lfloor(n-4)/127\r@@M@@h+3@@ 状态、不用左移的非确定自动机，而任何等价的 @@M@@s@@ 状态双向确定自动机满足 $4(s+2)^2\ge2^{\lfloor(h-2)/31n\log n$Gives a deterministic length-n discrete Fourier transform algorithm using $`O(n(\log n)^{1-\d…
@@M@@n@@ 都用 @@M@@O(n(\log n)^{1-10^{-13}})@@ 次精确复数运算完成离散傅里叶变换（discrete Fourier transform），且标量准备与寻址开销全部计费，首次在一切长度@@M@@o(n\log n)@@ 的精确傅里叶电路，推翻了该模型下的 @@M@@\Omega(n\log n)@@ 下界猜想；核心是一个”有限张量盈余”Resolves the simple-undirected Kannan–Tetali–Vempala conjecture: the lazy edge-switch chain mixes in…
@@M@@2n^8@@；同时给出期望多项式比特时间的精确均匀采样算法。Constructs total Boolean functions with block sensitivity $`\mathop{\mathrm{bs}}\nolimits (f)\ge s(f…
@@M@@\alpha>2@@ 使 $\mathrm{bs}(F)\Proves unconditional n^{\Omega(k)} deterministic time lower bounds for joint and separate k</…
@@M@@k\ge 4@@，本文构造两张无色简单图，使 @@M@@k@@ 维 Weisfeiler–Leman 等价当且仅当一个给定的有限域”选择系统”没有兼容选择；结合稀疏化，在正率 ETH 下推出判定 @@M@@k@@-WL 等价没有 $O(n^{ck}@@M@@G@@ 的邻接矩阵和二进制编码的正整数 @@M@@k@@，判定”Weisfeiler–Leman 维数 @@M@@\mathrm{WLdim}(G)\le k@@“是 EXPTIME 完全的；即使 @@M@@k@@ 改为一进制编码仍然完全，从而完成@@M@@k@@，任何判定两张 @@M@@n@@ 顶点图是否 @@M@@k@@ 维 Weisfeiler–Leman 等价的确定性串行算法，最坏情形需要 @@M@@n^{\Omega(k)}@@ 时间；不依赖 ETH 等任何复杂性假设，且在直径@@M@@k@@ 以二进制编码作为输入时，判定联合更新 @@M@@k@@ 维 Weisfeiler–Leman 等价（@@M@@G\equiv_k H@@）是 @@M@@\mathsf{EXPTIME}@@-完全的，即使在连通、无色、最大度至多 3 的简单图上亦然，正Every regular language over a finite alphabet has a generalized regular expression with at most thre…
Over every characteristic-zero field, the (1,1) entry of a product of n independent $`n\t…
@@M@@n@@ 个 @@M@@n\times n@@ 变量矩阵连乘的 @@M@@(1,1)@@ 项 @@M@@\IMM_{n,n}@@，任何齐次深度五 @@M@@\Sigma\Pi\Sigma\Pi\Sigma@@ 电路至少需 $n^{\sqrt n/400}Resolves the quasilinear PCP-for-PPAD conjecture. An End-of-Line instance of length N reduces…
@@M@@N@@ 的 End-of-Line 实例可确定性地多项式时间归约为总编码长 $N(\log N)^{O(Determines the halting and finite-control outcome of a fixed deterministic one-writable-tape machine…
@@M@@T@@ 内的停机与状态结果，可用 @@M@@\widetilde O(T^{2/5})@@ 个工作比特（模拟时间不限）确定性算出，首次把单带模拟的空间指数从经典的 @@M@@1/2@@ 压到 @@M@@2/5@@，肯定回答了 WilliaO(2^{0.49n})$ timeGives a uniform randomized classical algorithm for worst-case Subset Sum in ordinary $O(2^{0.49n})…
@@M@@O(2^{0.49n})@@ 字操作求解任意多项式比特长度的子集和问题（Subset Sum），首次把折半搜索 50 余年来停留在 @@M@@2^{n/2}@@ 的指数常数压到 @@M@@1/2@@ 以下，且时间界对每@@M@@\operatorname{poly}(n)2^{n/2}@@ 时间下把工作空间压到普通意义 @@M@@O(2^{n/5})@@ 个字（此前最好为 $O^*(2^{0.246n})For C2 potentials with a supplied minimizer and I\preceq\nabla^2V\preceq2I, pr…
@@M@@I@@ 与 @@M@@2I@@、极小值点已知的对数凹位势，本文证明任意固定 @@M@@\varepsilon>0@@ 下只需 @@M@@C_\varepsilon d^\varepsilon@@ 次精确一阶查询即可把 Gibbs 分布采样到总变For fixed A > 0, a one-pass learner with Ad^2 persistent bits needs $`\Omega_A(d\log(1…
@@M@@Ad^2@@ 比特状态的单遍学习者即便读的是无噪高斯线性方程，要把随机单位向量估计到角度误差（angular error）@@M@@\epsilon@@ 仍需 @@M@@\Omega_A(d\log(1/\epsilon))@@ 个样本，与@@M@@O(H(W)/d+d+\log(2+\log L))@@ 条件信息，进而导出 @@M@@o(d^2)@@ 比特流式学习者需 $\@@M@@t@@ 个 @@M@@\Theta(d)@@ 行精确高斯观测块、每条消息至多 @@M@@\exp(Ad^2)@@ 个取值时，只携带 @@M@@O_A(dt)@@ nats 信息，且在额外披露恢复几何铺开性的二进格子后界仍成立。@@M@@o(d^2)@@ 比特持久记忆的单遍学习器，要从无噪高斯线性观测中以角精度 @@M@@0<\epsilon\le1/10@@、成功概率 @@M@@2/3@@ 恢复均匀随机单位向量，必需 @@M@@\Omega(d\log(1/\epsilon))@@ 个@@M@@Cd@@；据此推出 @@M@@o(d^2)@@ 比特记忆的学习器达到 @@M@@3/5@@ 成功率、角精度 @@M@@0<\epsilon\le1/10@@ 需要@@M@@o(d^2)@@ 比特持久记忆的流式学习器，从独立精确高斯线性测量估计均匀随机单位向量，角精度 @@M@@0<\epsilon\le1/10@@、成功率 @@M@@2/3@@ 时至少需要 $2^{-16}d\log_2(1/\epProves that the existential theory of the reals lies in the counting hierarchy. More generally, trut…
@@M@@\exists x\,\forall y@@ 型实数句子的真假可在一个与输入长度、变量个数、次数、系数大小都无关的固定计数层内判定，即使多项式由算术电路Gives a uniform deterministic algorithm that completely factors every nonzero dense degree-n …
@@M@@(n+1)\log p@@ 的多项式位复杂度内完全分解素域 @@M@@\mathbf F_p@@ 上任一 @@M@@n@@ 次多项式（含重数）；不使用随机数、整数分解或原根预言机，也不依赖 GRH，唯一的解析输入是姊妹篇的一致 HeResolves the uniform boundedness assertion in Hilbert’s sixteenth problem: the number of isolated pe…
@@M@@d@@ 都存在只依赖 @@M@@d@@ 的有限常数 @@M@@B(d)@@：任何实平面多项式向量场的极限环个数不超过 @@M@@B(d)@@。这正是希尔伯特第十六问题第二部分的一致有界性断言，百余年的悬案获得肯定回答（但 @@M@@B(d)@@ 非有效）。@@M@@\dot x=y-F(x)@@、@@M@@\dot y=-x@@，当 @@M@@F@@ 是次数至多 5 的实多项式时，系统至多有两个几何上不同的孤立周期轨道，且该界可以达到——精确最大值就是 2。这证明了 Lins Neto–deResolves the probability-preserving form of Banach’s simple Lebesgue-spectrum problem within smooth …
@@M@@\T^3@@ 上构造出保持标准体积的 @@M@@C^\infty@@ 微分同胚（diffeomorphism）@@M@@T@@ 及实观测函数 @@M@@f@@，使 @@M@@\{f\circ T^n\}_{n\in\mathbb{Z}}@@ 恰为均值零空间 @@M@@L^2_0@@ 的标准Proves that every invertible mixing probability-preserving transformation is mixing of all finite or…
Proves that the standard sine map on the two-dimensional torus has positive metric entropy with resp…
@@M@@f_k@@ 对一切充分大的正参数 @@M@@k@@ 都具有关于面积测度的正度量熵（metric entropy），以”整条参数尾部”这一更强形式肯定回答了 Sinai 的正参数测度猜想，Resolves the near-boundary Birkhoff conjecture for smooth strictly convex planar billiards of positi…
For every self-similar measure on the line generated by finitely many contracting similarities, prov…
@@M@@\min\{1,h_{\mathrm{RW}}/\chi\}@@：随机游走熵率除以 Lyapunov 指数，精确重叠、不等压缩比与负压缩比统统允许，彻Proves the permanence conjecture for every finite weakly reversible mass-action system with fixed po…
Proves that the billiard flow in every nondegenerate Euclidean triangle with at least one angle irra…
@@M@@\pi@@ 之比无理，其台球流就对归一化刘维尔测度弱混合（weak mixing），等价于流与自身的乘积流遍历。这把以往只在”通有”或”可快速有理逼近”多边形上成立的弱混合推广到每一个无理三角形，无需任何丢番@@M@@\pi@@ 之比无理的欧氏三角形，其单位速度台球流对”面积×均匀方向”测度遍历（ergodicity）——不需要以往所有结果依赖的通有性或有理逼近条件；还附带量子遍历性与节点域数趋于无穷的谱推论。Constructs a noninvertible C1 self-map of a compact smooth manifold with zero topo…
@@M@@C^1@@ 自映射：拓扑熵（topological entropy）恰为零，但其在第二个实同调群上的诱导作用有特征值 @@M@@2@@，即 $h_{\mathrm{top}}(f)=0<\log 2\le\log\rConstructs a zero-entropy ergodic invertible transformation of a standard nonatomic probability spac…
@@M@@C^\infty@@ 微分同胚可测共轭——单个反例同时排除一切有限维数，说明”零熵”之下光滑正体积实现Classifies singular and absolutely continuous unbiased Bernoulli convolutions for every $`\lambda\in…
@@M@@\nu_\lambda@@ 建立了覆盖全部 @@M@@\lambda\in(0,1)@@ 的奇异性算术判据——一个用显式有限代数单位集表达的单侧逼近条件，并证明了 PiProves almost-everywhere convergence of consecutive multiple ergodic averages of every finite length…
@@M@@n,2n,3n,4n@@ 的遍历平均沿全部长度几乎处处收敛到积分之积；这是从三重迈向任意长度逐点多重遍历收敛的关键一步。@@M@@T@@，证明了三重遍历平均 @@M@@\frac1N\sum_{n=1}^N f_1(T^nx)f_2(T^{2n}x)f_3(T^{3n}x)@@ 对几乎处处的 @@M@@x@@ 收敛于 $\proConstructs a finite translational tile in ℤ3 that tiles space but admits no fully periodi…
@@M@@\mathbb{Z}^3@@ 中构造出一块有限平移瓷砖（translational tile）@@M@@T@@：它能铺满 @@M@@\mathbb{Z}^3@@，却没有任何全周期铺法；其单位立方体加厚在 @@M@@\mathbb{R}^3@@ 中同样如此，即便允许任意实数平移向量。周期铺砌猜想由此在最小可能的Constructs a compact subset of ℝ9 that cannot be covered by ten sets of strictly smaller …
@@M@@\mathbb{R}^9@@ 中的紧集——@@M@@\mathbb{R}^4@@ 上全体秩一正交投影矩阵在 Frobenius 度量下的像——其直径为 @@M@@\sqrt2@@，却不能被 10 个直径严格小于 @@M@@\sqrt2@@ 的集合覆盖，从而在Disproves Hadwiger’s conjecture even for fractional coloring: arbitrarily large finite simple graphs…
@@M@@m/100@@ 的任意大图 @@M@@G@@，由此 @@M@@h(G)<26m/75+2/3<m/2\le\chi_f(G)\le\chi(G)@@：1943 年的 Hadwiger 猜想及其分数染色弱化形式被一并推翻。@@M@@m/2+1@@ 的任意大图，从而 @@M@@\mu(G)+1<m/2\le\chi(G)@@：Colin de Verdière 染色猜想 $\chi(G)\le\mu(@@M@@C@@，使每个有限非空简单图满足 @@M@@\chi_{\mathrm{list}}(G)\le Ch(G)@@，肯定地解决 Kawarabayashi–Mohar 的线性列表 Hadwiger 猜想；对每点取相同列表即得 $\chProves that every five-coloring of the Euclidean plane has a monochromatic pair at distance one, wit…
@@M@@\chi(\mathbb{R}^2)@@ 只能是 6 或 7，Hadwiger–Nelson 问题的下界七十多年来首次从 5 跃升至 6。Proves Erdős’s conjecture that every set of positive integers with divergent reciprocal sum contains…
@@M@@k\ge 3@@ 给出拟多项式界 $r_k(N)\le C_kN\exp(-c_k(\log N)^{\varepsiloResolves Erdős’s superexponential-growth question for van der Waerden numbers. If W_r(k) is the …
@@M@@k\ge K_0@@、@@M@@r\ge2@@ 有 @@M@@W_r(k)>k^{ck\lfloor\log_2 r\rfloor}@@（@@M@@c@@ 绝对），故 @@M@@W_r(k)^{1/k}\to\infty@@，定量解决Erdős超指数增长问题，含两色。Disproves Sidorenko’s conjecture with a connected bipartite pattern on 35 vertices and 66 edges that…
@@M@@H@@（13 个点、22 个三元组的关联图），并证明存在有限图 @@M@@G@@ 使 @@M@@t(H,G)<p(G)^{66}@@，推翻了悬置三十余年的 Sidorenko 猜想；同一 @@M@@H@@ 还否定Disproves Ryser’s covering conjecture by constructing intersecting (q+1)-partite, (q+1)-unif…
@@M@@q@@，本文构造出相交（intersecting）的 @@M@@(q+1)@@-部、@@M@@(q+1)@@-一致超图，覆盖数（covering number）达到理论上限 @@M@@q+1@@，且每部恰有 @@M@@q+1@@ 个非孤立顶点，从而推翻 Rys@@M@@s\equiv2\pmod3@@ 与足够大的奇数 @@M@@n@@（@@M@@q=s^n@@），本文构造出覆盖数为 @@M@@q+1@@ 的相交（intersecting）@@M@@(q+1)@@-部 @@M@@(q+1)@@-一致超图，推翻 Ryser 覆盖猜想的相交Proves Hindman’s finite sums and products conjecture: every finite coloring of the positive integers…
@@M@@k@@，都存在 @@M@@k@@ 元集合，使其全部非空子集和与非空子集积落在同一颜色中。加性与乘性 Ramsey 性质的同时实现这一 1979 年提出的问题首次得到肯定回答。Resolves the Harary–Hill conjecture and Turán’s brickyard problem in the Zarankiewicz formulation, d…
@@M@@n@@ 顶点完全图 @@M@@K_n@@ 的普通交叉数恰为 $\frac14\lfloor\frac n2\rfloor\lfloor\frac{n-1}2\r@@M@@K_{m,n}@@ 的普通交叉数恰为 $\lfloor\frac m2\rfloor\lfloorFor every fixed d ≥ 3, any n ≥ 2 distinct points in ℝd determine at …
@@M@@d\ge3@@，@@M@@\mathbb R^d@@ 中任意 @@M@@n\ge2@@ 个不同点至少决定 @@M@@c_d n^{2/d}@@ 个不同距离，@@M@@c_d>0@@ 只依赖 @@M@@d@@。幂次与整数格例子一致而达最优，由此正面解决高维 Erdős 不同距Proves the weak pinned Erdős distance conjecture: for every fixed ε > 0, all but o(n) …
@@M@@\varepsilon>0@@，任何 @@M@@n@@ 点平面点集中除 @@M@@o(n)@@ 个例外点外，每个点都与其余点张出至少 @@M@@n^{1-\varepsilon}@@ 个互异距离——Erdős 1957@@M@@\beta<4/3@@，使任何 @@M@@n@@ 个点的平面点集至多确定 @@M@@O(n^\beta)@@ 对单位距离——Spencer–Szemerédi–Trotter 保持四十余年的 @@M@@n^{4/3}@@ 指Resolves the full combinatorial invariance conjecture: isomorphic Bruhat intervals in arbitrary Coxe…
Resolves the elementary-positivity part of the Shareshian–Wachs conjecture: the chromatic quasisymme…
@@M@@\mathbb N[q]@@，从而解决了 Shareshian–Wachs 猜想的初等正性部分，并给出把这些For every fixed integer s ≥ 5, proves r(s,t)=t^{s-1}/(\log t)^{s-2+o(1)} as $t\to\infty…
@@M@@r(5,t)=t^4/(\log t)^{3+o(1)}@@：非对角拉姆齐数（off-diagonal Ramsey number）在 @@M@@s=5@@ 时的对数指数被精确确定为 @@M@@3@@，下界终于追平 Ajtai–Komlós–Sze@@M@@s\ge6@@ 证明 @@M@@r(s,t)=t^{s-1}/(\log t)^{s-2+o(1)}@@；连同姊妹篇的 @@M@@s=5@@ 情形，非对角拉姆齐数（off-diagonal Ramsey number）的对数指数（logarResolves the Burr–Erdős hypercube Ramsey conjecture: the two-color Ramsey number of the n-dim…
@@M@@n@@ 维超立方体图 @@M@@Q_n@@ 的双色拉姆齐数满足 @@M@@R(Q_n)\le C2^n@@（@@M@@C@@ 为绝对常数），结合经典下界 @@M@@R(Q_n)\ge 3\cdot2^{n-1}-1@@ 得 @@M@@R(Q_n)=\Theta(2^n)@@，正面解Classifies finite point configurations that occur monochromatically, at their original scale, in eve…
Proves Seymour’s second-neighborhood conjecture: every nonempty finite oriented graph has a vertex w…
@@M@@v@@ 满足 @@M@@|N_1^+(v)|\le|N_2^+(v)|@@，即有向距离恰为二的顶点数不少于出邻点数。这一自 1995 年记录以来悬置三十余年的有向图基本问题就Resolves the strong thin-tree conjecture constructively. Every finite loopless k-edge-connect…
@@M@@k@@-边连通无环多重图都含一棵生成树，与任何割的交不超过割规模的 @@M@@C/k@@ 倍（@@M@@C@@ 为普适常数）。这一阶是最优的，把此前 $\mathrm{poly}@@M@@k@@-边连通多重图（重边多重数可用二进制编码），构造出对每个割至多占 @@M@@C/k@@ 比例的生成树。它把姊妹篇证出的强细树猜想变成可执行构造，运行时间对输入的二进制长度是多项式的。Proves that integral and fractional expectation thresholds differ by at most a universal factor, and…
@@M@@25\cdot512^4@@，且两者使用同样的 @@M@@1/2@@ 覆盖预算，彻底去掉了此前舍入结果中依赖集合尺寸或 @@M@@\log\log@@ 的损失。@@M@@k=2^{75}@@，任何高概率集合族中”不能被 @@M@@k@@ 个成员之并覆盖”的例外集族，在原密度处有小成本覆盖。Proves the second Kahn–Kalai conjecture: for every finite simple graph H with h ≥ 1 ed…
@@M@@h\ge1@@ 条边、至多 @@M@@n@@ 个顶点的图 @@M@@H@@，其在 @@M@@G(n,p)@@ 中的出现阈值不超过 @@M@@C\,p_{\mathrm E}(n,H)(1+\log_2 h)@@，@@M@@C@@ 为普适常数——期望阈值与真Constructs arbitrarily large finite d-dimensional simplicial complexes, for every d ≥ …
@@M@@d\ge 3@@，论文构造出顶点数可任意增大、顶点度一致有界、且在所有低于 @@M@@d@@ 的维数上具有一致 @@M@@\mathbb F_2@@ 上边缘扩张（coboundary expansion）的有限单纯复形；与已知的图和二维情形合并，在For every fixed d ≥ 3, constructs a simple d-regular nonbipartite Ramanujan graph on e…
@@M@@d\ge 3@@，本文在每个充分大的偶数阶 @@M@@n@@ 上确定性构造简单、非二部（nonbipartite）的 @@M@@d@@-正则 Ramanujan 图：全部非平凡特征值严格落在 $(-2\sqrt{d-1},\,2\sqrt{d-1Proves that real circulant Hadamard matrices exist exactly in orders 1 and 4, resolving the circulan…
@@M@@1@@ 或 @@M@@4@@；并顺势证明 Barker 序列猜想——长度大于 @@M@@1@@ 的 Barker 序列恰Proves that every finite simple cubic bipartite planar 3-vertex-connected graph has a Hamiltonian cy…
Proves that the edges of every finite simple undirected graph on n vertices can be partitione…
@@M@@n@@ 个顶点的有限简单无向图的边集都能划分成至多 @@M@@Cn@@ 个简单圈（simple cycle）与单边，@@M@@C@@ 为绝对常数。这正面解决了 Erdős–Gallai 圈分解猜想，把此前最好的 @@M@@O(n\log^* n)@@ 上界推For every fixed intersective integer polynomial h of degree k ≥ 2 with positive leadin…
@@M@@k\ge2@@ 存在指数 @@M@@c_k>0@@，凡避开固定 @@M@@k@@ 次交集多项式 @@M@@h@@ 一切非零取值之差的集合都满足 @@M@@|A|=O_h(N^{1-c_k})@@，且幂节省指数只依赖次数。这把一般多项式差集的上界首次从对数级、亚@@M@@h@@ 模每个正整数都有单位根，则避开全部非零 @@M@@h(p)@@（@@M@@p@@ 取素数）之差的集合满足 @@M@@|A|\le C_hN^{1-c_h}@@。这把多项式差集的幂节省首次推广到素数自变量，关键解析输入是 Dirichlet @@M@@L@@-函数@@M@@c>0@@ 与 @@M@@C<\infty@@：不含非零平方差的集合 @@M@@A\subseteq\{1,\ldots,N\}@@ 必满足 @@M@@|A|\le CN^{1-c}@@。这正面回答了 Green–Sawhney 提出的固定幂问题，把Improves the planar halving-line bound to O(n^{4/3-\varepsilon}) for sets with no three collinea…
@@M@@\varepsilon>0@@，使平面上无三点共线的偶数 @@M@@n@@ 点集至多有 @@M@@Cn^{4/3-\varepsilon}@@ 对平分点（halving pair）——这是 Dey 的 @@M@@O(n^{4/3})@@ 界保持近三十Proves the Alon–Krivelevich–Sudakov coloring conjecture in correspondence-coloring form: graphs avoi…
@@M@@r\ge 4@@，论文证明最大度 (maximum degree) @@M@@\Delta@@ 充分大的 @@M@@K_r@@-free 图的对应色数 (correspondence chromatic number) 满足 $\chi_{\m@@M@@r\ge 4@@，任何 @@M@@n@@ 个顶点、平均度 @@M@@d\ge 2@@ 的 @@M@@K_r@@-free 图都含有大小至少 @@M@@c_r\,n\log d/d@@ 的独立集 (independent set)，从而解决了 Ajtai–ErDisproves the unrestricted infinite matroid intersection and packing/covering conjectures in ZFC, us…
Proves the Friedgut–Kalai threshold-width conjectures for graphs and fixed-uniformity hypergraphs. F…
@@M@@r\ge3@@，证明了任何在顶点重标记下不变的布尔超图性质都满足一致方差–影响力不等式 @@M@@\Var_p(f)\le C_r I_p(f)/(\log n)^{r/(r-1)}@@：它对一切 @@M@@0<p<1@@ 成立、不要求单调性，并@@M@@n@@ 个顶点的图上，任何在全体顶点置换下不变的非平凡单调性质，从概率 @@M@@\varepsilon@@ 涨到 @@M@@1-\varepsilon@@Settles the Snaky achievement problem: Maker can force the six-cell Snaky shape within 21 of its own…
@@M@@17\times17@@Starting from the complete graph on n vertices, repeatedly delete a uniformly chosen remainin…
@@M@@K_n@@ 出发随机逐个删三角形的终止残留边数 @@M@@F_n@@ 满足 @@M@@F_n/n^{3/2}@@ 依 @@M@@L^2@@ 收敛于 @@M@@1/(2\sqrt2)@@，首次敲定该过程的精确尾常数，解决 Joos–Kühn 猜想的三角形情形。Proves the Erdős–Faudree–Rousseau–Schelp conjecture: R(C_m,K_n)=(m-1)(n-1)+1 for every $`m\ge n\…
@@M@@m\ge n\ge3@@ 且 @@M@@(m,n)\ne(3,3)@@ 时 $R(C_Disproves polynomial ordered binary matrix removal with one fixed 66\times66 zero–one pattern. M…
@@M@@66\times66@@ 0-1 矩阵 @@M@@H@@，并给出一列宿主矩阵：它们离不含 @@M@@H@@ 很远，但所含 @@M@@H@@ 的有序拷贝（ordered copy）密度低于任何多项式界，从而否定了有序二值矩阵的多项式删除引理猜想。For every sufficiently large n, constructs n points in the unit square such that every…
@@M@@\eta,c_1>0@@：当 @@M@@n@@ 充分大时，可在单位正方形内放置 @@M@@n@@ 个点，使它们决定的任何三角形面积都不小于 @@M@@c_1n^{-2+\eta}@@。这一幂次（power）改进推翻了海尔布伦三角形问题的”几乎 $nDisproves the proposed square-root bound relating a Boolean function’s linear Fourier coefficients t…
@@M@@C>0@@ 都存在布尔函数 @@M@@f@@ 使 @@M@@\sum_i\widehat f(\{i\})>C\sqrt{\deg(f)}@@，即线性 Fourier 系数Proves strict positivity of Serre’s intersection multiplicity \chi^R(M,N) for nonzero finitely g…
@@M@@\chi^R(M,N)@@ 必严格Proves e(R)\le e(S) for every flat local homomorphism of nonzero Noetherian local rings, where <…
@@M@@e(R)\le e(S)@@，且对维数、剩余域、特征均无限制，宣告这一悬置六十余年的问题彻底解决。Constructs a three-dimensional complete Noetherian normal local domain over ℂ with no nonzero finite…
@@M@@\mathbb{C}@@、剩余域为 @@M@@\mathbb{C}@@ 的三维完备诺特正规局部整环，其上任何非零有限生成模的深度都达不到 3，即不存在小 Cohen–Macaulay 模，从而否定 Hochster 悬置五十余年的整Constructs a finitely presented torsion-free group G whose group algebra \mathbb F_2[G] h…
@@M@@G@@，并给出 @@M@@\mathbb F_2[G]@@ 中非零元素 @@M@@\alpha,\beta@@ 使 @@M@@\alpha\beta=0@@，推翻了悬置八十余年的 Kaplansky 零因子猜Constructs a finitely presented torsion-free nonsofic group whose group algebra over 𝔽2 i…
@@M@@G@@：在 @@M@@\mathbb F_2[G]@@ 中有 @@M@@ab=1@@ 而 @@M@@ba\ne1@@，并附见证元 @@M@@c@@ 使 @@M@@ac=0@@、@@M@@c\ne0@@。这把@@M@@G@@ 与 @@M@@a,b\in K[G]@@，使 @@M@@ab=1@@ 而 @@M@@ba\ne1@@，否定 Kaplansky 直接有限性猜想；同组元素又给出单而不满的元胞自动机，连带否定 Gottschalk 满射性猜想。@@M@@A\in\mathrm{Mat}_n(\mathbb Z[G_D])@@，它在有理群环上可逆，而其 Fuglede–Kadison 行列式严格介于 @@M@@0@@ 与 @@M@@1@@ 之间（精确值 @@M@@q^{-\theta}@@），否定无限制@@M@@p@@，本文构造出 @@M@@p^4@@ 元域 @@M@@K@@、含挠（torsion）的有限生成群 @@M@@G@@ 及群代数元素 @@M@@a,b\in K[G]@@，满足 @@M@@ab=1@@ 而 @@M@@ba\ne1@@，否定 Kaplansky 直接有限性猜想；Constructs a finite-dimensional complex algebra whose finite-dimensional modules have unbounded fini…
@@M@@A@@：对任意 @@M@@m\ge1@@ 都有有限维模 @@M@@N_m@@ 满足 @@M@@2m-2\le\pd_A N_m<\infty@@。同一个代数上有限投射维数无上界，Bass 提出的有限维代数小有限维数猜想（little fiConstructs finite-dimensional algebras over a characteristic-two rational-function field that dispro…
@@M@@\mathbb F_2(q,H_1,H_2)@@ 上给出有限维代数 @@M@@\Lambda@@ 与非投射模 @@M@@Z@@，使 @@M@@Z@@ 的所有正阶自扩张及到 $\Lam@@M@@k=\mathbb F_2(q,H_1,H_2)@@ 上构造有限维对称代数 @@M@@A@@ 与非投射模 @@M@@M@@，使 @@M@@\Ext^i_A(M,M)=0@@ 对一切 @@M@@i>0@@；其自同态代数进而使经典、广义、强Proves the Eisenbud–Green–Harris and lex-plus-powers conjectures over every characteristic-zero fiel…
@@M@@\ge 2@@）的齐次理想，其 Hilbert 函数被对应的 lex-plus-powers 理@@M@@\mathbb{C}@@ 上构造性地证明了 Artinian 情形的 Eisenbud–Green–Harris 猜想：任何包含正则序列（次数 @@M@@\ge2@@、任意长度）的齐次理想，都与某个含相应纯幂的单项式理想有相同的 Hilbert 函数，并经归约推Constructs a countable characteristic-zero division ring that is algebraic over its center and gener…
@@M@@D@@：它在其中心 @@M@@F@@ 上代数、作为 @@M@@F@@ 上代数由两个元素生成，却在 @@M@@F@@ 上无穷维。这给 Kurosh 除环问题以否定回答——中心代数性不蕴含局部有限性。Proves the numerical blockwise Alperin weight conjecture for every prime and every finite group: the…
@@M@@p@@ 与任意有限群 @@M@@G@@ 的数值形式分块 Alperin 权猜想：每个 @@M@@p@@-块 @@M@@B@@ 的不可约 Brauer 特征标个数 @@M@@l(B)@@ 恰等于 @@M@@B@@ 的权在共轭意义下的类数 @@M@@|W_p(B)|@@。这一 19Proves Donovan’s conjecture: over each fixed algebraically closed field of characteristic p, …
@@M@@p>0@@ 的每个代数闭域上的 Donovan 猜想：固定域 @@M@@K@@ 与亏群阶的上界 @@M@@M@@ 后，所有有限群的块只代表有限多个 @@M@@K@@-线性 Morita 等价类。亏群不必交换，素数 @@M@@p=2@@ 也包括在内——这是该猜想自@@M@@p@@ 与亏群阶上界 @@M@@M@@ 后，所有有限群的块在 Witt 向量环 @@M@@W(\overline{\mathbb F}_p)@@ 上只代表有限多个 @@M@@\mathcal O@@-线性 MoriProves saturation factor one for \mathop{\mathrm{Spin}}\nolimits (2n), n ≥ 2: for three d…
@@M@@\mathop{\mathrm{Spin}}\nolimits(2n)@@ 的饱和猜想：三个支配整权之和落在根格（root lattice）中时，只要某个正整数倍 @@M@@N@@ 处有张量不变量，原权处就有。这解决了单边型（simProves Saxl’s conjecture: the tensor square of every staircase representation contains every irreduc…
@@M@@n\in\{2,4,9\}@@ 外，对称群 @@M@@S_n@@ 都存在一个不可约表示，其张量平方包含该群的全部不可约表示，从而肯定地解决了 Pak–Panova–Vallejo 提出的对称群张量平方猜想（tensor square c@@M@@\rho_m=(m,m-1,\ldots,1)@@，其张量平方 @@M@@S^{\rho_m}\otimes S^{\rho_m}@@ 包含对称群 @@M@@S_{N_m}@@Some finite lattices are not congruence lattices of any finite algebra, answering the finite lattice…
Proves the ℓ1-Bass conjecture for every discrete group: Hattori–Stallings traces o…
@@M@@\ell^1@@-Bass 猜想：@@M@@\ell^1(G)@@ 上幂等矩阵的 Hattori–Stallings 迹只在有限多个有限阶元素共轭类上非零。这去掉了 Berrick–Chatterji–Mislin 此前证明所@@M@@K_0(\mathbb CG)@@ 的 Hattori–Stallings 迹只在有限阶共轭类上非零；并由此推出无挠群（torsion-free group）在任意特征零交换幺整环上的 KProves that every finite symmetric tensor category over an algebraically closed field k of ch…
@@M@@p>0@@ 的代数闭域上，任何有限对称张量范畴都容许到某层高阶 Verlinde 范畴 @@M@@\mathrm{Ver}_{p^n}(k)@@ 的纤维函子，且首次覆盖特征 $Disproves unrestricted integral Gersten injectivity in degrees 3 and 5. Two explicit two-dimensional…
@@M@@(0,5)@@ 的二维分歧正则局部环 @@M@@A=(V[x,y]/(5+x^4+y^4))_{(5,x,y)}@@，证明 @@M@@K_5(A)\to K_5(\operatorname{Frac}A)@@ 有非零核，推翻了无限制整系数@@M@@(0,5)@@ 的二维分歧正则局部环——分圆五次平面模型 @@M@@(X-Z)^5-XY^4+Y^5+\zeta Z^5=0@@ 特殊点处的局部环——上构造整类 @@M@@c\in K_3(A)@@，它在分式域上变为零但自身非零，从而在度 3Proves the sixth case of Foulkes’ conjecture: $`\mathop{\mathrm{Sym}}\nolimits ^6(\mathop{\mathrm{Sy…
@@M@@a=6@@ 成立：对一切 @@M@@b\ge6@@ 与有限维复向量空间 @@M@@V@@，存在 @@M@@\GL(V)@@-等变单射 @@M@@\Sym^6(\Sym^b V)\hookrightarrow\Sym^b(\Sym^6 V)@@，即@@M@@\Sym^b(\Sym^a V)\to\Sym^a(\Sym^b V)@@ 在 @@M@@a\ge 2@@、@@M@@b\ge a(a-1)@@ 时必满射，给出首个与 @@M@@\dim V@@ 无关的二次稳定化界，正面回Critical Fortuin–Kasteleyn planar maps converge to Liouville quantum gravity spheres for $`0\lt q\le…
@@M@@n@@（边数）倍后，连同随机曲面一起收敛到 @@M@@\sqrt3@@-量子球上的刘维尔布朗运动——首次在该模型得到常数恒为 1 的精确线性时钟。@@M@@\sqrt3@@-量子球上刘维尔布朗运动的谱数据，时钟与电导率常数都精确等于 1。@@M@@n@@（边数）倍后，其条件路径律连同度量-测度空间收敛到 @@M@@\sqrt2@@-量子球上的刘维尔布朗运动，时钟乘子精确为 1。@@M@@0<q<4@@，本文证明：球面 FK 随机平面图按其“旗帜三角形”共形嵌入后，联合收敛到单位面积 LQG 量子球面并伴随独立的共形环系装饰；面积测度、经确定性重标的全体顶点图距离以及全部嵌套界面同时收敛。@@M@@\gamma=2@@）单位面积 LQG 量子球面的场、面积律与临界内蕴度量，再证明 @@M@@q=4@@ 的球面 FK 平面图在旗帜嵌入下联合收敛到该球面加独立的 @@M@@\mathrm{CLE}_4@@：面积测度、完整嵌入距离函数与全部宏观@@M@@q\in(0,4)@@ 的临界 FK 球面图以及一致生成树装饰图，本文证明了 Gwynne–Miller 图度量猜想的有限球面情形：图距离经确定性重标后，连同度数比例的顶点测度，在 Gromov–Hausdorff–Prokho@@M@@q>4@@，临界 Fortuin–Kasteleyn 平面图的图距离乘以 @@M@@c(q)n^{-1/2}@@ 后，连同度测度一起收敛到布朗连续随机树：有限体积下”随机曲面退化成树”的猜想被证明，且对所有正整数规模一致成立。Proves that planar first-passage percolation has no doubly infinite geodesic for iid nonnegative non…
@@M@@\mathbb{Z}^2@@ 上独立指数边权首达渗流的极限形状严格凸且边界为 @@M@@C^1@@ 曲线，并把可微性推广到一切形状、速率均为正的 Gamma 边权，解决平面指数模型的严格凸性与可微性两大猜想。Resolves the Benjamini–Schramm criticality conjecture for bond percolation on every infinite connect…
@@M@@\mathbb{Z}^3@@ 上最近邻 Bernoulli 键渗流与点渗流在临界参数 @@M@@p_c@@ 处几乎必然均无无穷开簇，补上悬置多年的中间维度缺口，并得 @@M@@\theta(p)@@ 在 @@M@@p_c@@ 处连续。@@M@@p_c<1@@ 的无限连通局部有限拟传递图，其临界 Bernoulli 键渗流几乎必然没有无穷开簇——正面解决 Benjamini–Schramm 1996 年临界性猜想的键形式，特别涵盖一切 @@M@@\mathbb{Z}^d@@。Proves p_c\lt p_u for Bernoulli bond percolation on every infinite connected locally finite nona…
O(3)$ continuum limit and exact $O(4)$ mass asymptoticsConstructs the canonical continuum limit of the two-dimensional nearest-neighbor O(3) model: a n…
@@M@@O(3)@@ 模型构造出正则的相互作用连续统极限：裸耦合 @@M@@\beta\to\infty@@ 时，经磁化率与二阶矩关联长度归一化的场无需抽取子列即收敛，极限满足 Osterwalder–Schrader 公理、连通四点函数非零，重@@M@@O(3)@@ 模型连续统自旋场上，证明向量二点谱测度在最低质量处有一个正原子，且与其余谱支撑隔开正距离——最低质量是孤立的单粒子极点（isolated particle pole），而非连续谱的起点。@@M@@O(4)@@ 模型的完整 OS 转移算子质量隙满足精确低温渐近 @@M@@m_{\mathrm{lat}}(\beta)\sim32e^{\pi/4-1/2}\sqrt\beta\,e^{-\pi\beta}@@，首次对指定格点模型把@@M@@O(4)@@ 自旋模型证明：低温区完整转移间隙被 @@M@@\sqrt\beta e^{-\pi\beta}@@ 的正常数倍上下夹逼，且任意正温度下周期态间隙恒正——全温度格点质量生成猜想对该周期态获正面解决，物理单位下的质量也被压进双@@M@@O(n)@@ 自旋模型（@@M@@n\ge3@@）在任意正温度两点自旋关联指数衰减，且估计对一切有限自由边界子图与 @@M@@[0,\beta]@@ 内的边强度一致成立——全温度指数自旋衰减猜想由此获得正面解决。For the square-lattice nearest-neighbor cosine XY model, proves critical axis correlations $`C_{\bet…
@@M@@C_{b_c}(r)=B_{\rm XY}r^{-1/4}(\log r)^{1/8}(1+o(1))@@，首次为该模型确立了 BKT 理论预言逾五十年的对数修正（loga@@M@@a_n=A_{\rm XY}n^{-1/8}(\log n)^{1/16}(1+o(1))@@。在三篇姊妹篇的输入之上，它定出了@@M@@K_*=2/\pi@@ 的零 Dirichlet 高斯自由场的全方差虚指数 @@M@@V_*@@，且一切混合矩收敛——BKT 理论的临界高斯描述首次在自旋场（而非高度场）层面获得@@M@@C_{b_c}(n)=n^{-1/4+o(1)}@@，即 @@M@@\log C_{b_c}(n)/\log n\to-1/4@@，精确证实了 BKT 理论五十余年前预言的临界@@M@@8\pi@@；并证明充分低温的 Villain 与 XY 模型的自旋场收敛到 Dirichlet 高斯自由场For every fixed inverse temperature β > 1, determines the fluctuation scale and limiting l…
@@M@@\beta>1@@，本文证明零场 SK 模型自由能按精确期望与标准差中心化、标准化后，沿全部整数序列收敛到一个非退化极限律，且方差除以 @@M@@n^{1/3}@@ 收敛到正常数，严格确立了低温区 @@M@@n^{1/6}@@ 波动尺度并首次@@M@@\beta>1@@ 证明零场 SK 模型对数配分函数的标准差为 @@M@@n^{1/6+o(1)}@@、方差为 @@M@@n^{1/3+o(1)}@@，且典型中心化涨落具有同样的指数，在低温全区间严格确立了物理学界预言已久的六分之一指数。Weak finite-range square-symmetric even multispin perturbations of the square-lattice Ising model pr…
@@M@@\varepsilon@@ 足够小，在真正的物理临界温度处，固定环境（quenched）意义下的自旋接口仍收敛到弦 $\mathrm{SLE}@@M@@1\pm\epsilon@@（对称二值、独立同分布）的方格 Ising 模型，证明了只要 @@M@@\epsilon@@ 足够小且固定，在自发磁化定义的临界温度处，固定环境下的 Dobrushin 自旋接口收敛到弦 $\mathrm{SL@@M@@1\pm\varepsilon@@ 的方格 Ising 模型，在假设一组确定性临界参考估计的前提下，证明了固定环境（quenched）临界自旋关联的相对二阶矩按 @@M@@(\log r)^{1/4+o(1)}@@ 增长——这正@@M@@\beta_c@@，使自旋界面按完整定向曲线律收敛到弦 @@M@@\mathrm{SLE}_3@@——不可积情形的临界界面共形不变普适性成立。For every fixed degree d ≥ 3, the bulk adjacency-eigenvalue point process of a uniform simple…
@@M@@d\ge 3@@ 的均匀随机 @@M@@d@@-正则图，加上强度足够小且固定的独立对角无序后，干净谱带内任一固定能量处的特征值点过程经无穷树态密度展开后收敛到 GOE 体过程，把固定度普适性推广到弱 Anderson 无序情形。@@M@@d\ge3@@（含三次图），均匀随机 @@M@@d@@-正则图邻接矩阵在 Kesten–McKay 谱带内任一固定能量处的展开点过程收敛到 GOE 体过程，沿一切容许规模成立且无需任何附加条件。On ℤd, d ≥ 3, directional escape has probability zero or one for iid strict…
@@M@@\mathbb{Z}^d@@（@@M@@d\ge3@@）上平稳、遍历、有限程依赖（finite-range-dependent）且一致椭圆的环境中，最近邻随机游走沿任一固定非零方向逃逸的退火概率只能是 0 或 1，把此前仅在独立环境成立的方向@@M@@\mathbb{Z}^d@@（@@M@@d\ge3@@）上的 iid 最近邻随机环境中，只要每个转移概率几乎必然严格为正——不设一致下界、不设任何矩条件——游走沿任一固定非零方向逃逸的退火概率就只能是 0 或 1：高维方向 0-1 猜想在严格椭圆@@M@@\mathbb{Z}^d@@（@@M@@d\ge2@@）iid 一致椭圆环境中，沿固定方向几乎必然逃逸的游走必有确定性极限速度 @@M@@v@@ 且 @@M@@v\cdot\ell>0@@：方向瞬态与弹道性等价，正面解决了弹道性猜想（ballisticity cProves the Mézard–Parisi hierarchical cavity formula for Poisson-diluted even-arity Ising models sat…
Determines finite-temperature variational free energies for Gaussian Ising perceptrons with bounded …
@@M@@-1@@、二次惩罚的球面感知机中，本文严格证明了精确可行性阈值、等静性（isostaticity）与极限间隙/力分布，并定出堵塞指数 @@M@@\gamma=(2+\theta)^{-1}@@，$0.4126930<\gammaProves chordal SLEκ limits for critical square-lattice random-cluster interfaces f…
@@M@@1\le q<4@@，论文证明方格上临界随机簇模型的 Dobrushin 界面收敛到 chordal @@M@@\SLE_{\kappa(q)}@@，全体嵌套回路收敛到 whole-plane @@M@@\CLE_{\kappa(q)}@@，并在@@M@@0<q<1@@，论文证明方格随机簇模型在自对偶点的 Dobrushin 界面收敛到 @@M@@\kappa\in(6,8)@@ 的 chordal @@M@@\SLE_\kappa@@；在 FKG 正相联失效的条件下从零重建交叉比较工具，补齐了 Roh@@M@@\SLE_{16/3}@@：无序强度不随网格变小，收敛对环境取 quenched 意义（依概率成立），确认 SLE 普适性对随机耦合稳定。@@M@@_{16/3}@@“：漂移由一个质量边值问题给出的有限能量泛函确定，负质量经对偶与反转得到，从而把 Makarov–Smirnov@@M@@c(q)n^{-d}@@ 归一后收敛到其 @@M@@\mathrm{SLE}_\kappa@@ 极限曲线的 Minkowski 内容测度（@@M@@1\le q<4@@），单一确@@M@@1\le q\le4@@ 的临界随机簇模型，Dobrushin 界面收敛到弦 @@M@@\mathrm{SLE}_{\kappa(q)}@@（@@M@@\kappa(q)=4\pi/\arccos(-\sqrt q/2)@@），完整Proves Cardy’s formula for annealed critical Poisson–Voronoi crossing probabilities in every bounded…
@@M@@\mathbb{E}N_\varepsilon\sim c_V\varepsilon^{-3/4}@@（$c_V\in(0,\The balanced square-lattice six-vertex height field with a=b=1 and 0\lt c\le2 converges to a…
@@M@@a=b=1@@、@@M@@0<c\le2@@ 的整个临界区间内，其高度场在平衡环面极限定义的平面态下收敛到高斯自由场的常数倍，乘子平方恰为 @@M@@1/\arcsin(c/2)@@，首次把精确的 GFF 标度极限推广到全区间并覆盖Resolves the half-plane Temperleyan form of the double-dimer scaling-limit conjecture: the complete …
@@M@@_4@@，解决了双二聚体 CLE@@M@@_4@@ 标度极限猜想的半平面形式。For zero-field Gaussian SK heat-bath dynamics with rate-one updates per spin, proves worst-start cut…
@@M@@\beta=1@@ 处，从独立均匀自旋”淬火”（quench）出发的两点自相关函数与平稳自相关函数联合收敛到同一个随机泛函极限，且该极限对高斯与拉德马赫（Rademacher）两类耦合普适；淬火极限随等待时@@M@@\beta=1@@ 处的平稳自旋自相关函数在 @@M@@n^{1/3}@@ 重整与 @@M@@n^{2/3}@@ 时间尺度下收敛到一个普适的随机泛函极限：高斯与拉德马赫（Rademacher）耦合给出同一极限律，且该极限非@@M@@0\lt\beta\lt 1@@，证明零场高斯 SK 模型单格点热浴（heat-bath）动力学的未缩放谱隙（spectral gap）在无 disorder 上以趋于一的概率被正常数 @@M@@1/C_\beta@@ 下界，即 Gib@@M@@0\le\beta<1@@ 都存在最坏起点的总变差 cutoff（锐利切断），位置为 @@M@@\log n/(2\lambda(\beta))@@，速率 $\lambda(\beta)>@@M@@\beta=1@@ 证明了临界慢化（critical slowing down）的严格总变差下界：把典型的平衡组态固定为初始状态，热浴动力学在 @@M@@o(n^{2/3})@@ 时间内（离散更新尝试 $o(n^{5/3})@@M@@\beta>1@@，论文证明：把典型平衡组态固定为初始状态后，其与平衡的总变差距离在 @@M@@\exp(n^{1/10000})@@ 时刻仍超过 @@M@@1/4@@ 的概率趋于 1。吉布斯采样几乎必然抽到”慢”起点，混合时间超过任@@M@@\beta>1@@），把一次 Gibbs 抽样固定为初态，其全变差距离到平衡在 @@M@@\exp(n^{1-1/40000000})@@ 时间内降至 @@M@@1/4@@ 以下，联合概率趋于 1。这说明低温下指@@M@@\beta=1@@ 处最坏初态混合时间的精确指数：连续时间（每站点更新率 1）为 @@M@@n^{2/3+o(1)}@@，离散尝试更新为 @@M@@n^{5/3+o(1)}@@；同一指数还控制松弛时间与经典对数 Sobolev 常数Constructs stable distance-dependent pair interactions for three-dimensional classical particles wit…
@@M@@|\phi(r)|\le Cr^{-3-1/32}@@，其正则自由能在同一临界逆温度、一整个正密度开区间上出现严格导数跳跃，把 Simon 连续介质相变问题要求的势类推进到固定幂律余量Proves the exact reconstruction threshold d\lambda^2\gt 1, with nonreconstruction at equality, f…
@@M@@d\ge2@@ 正则树与均值 @@M@@d>0@@ 的泊松树上，重构当且仅当 @@M@@d\lambda^2>1@@，且临界等号处不重构；把此前仅大度数成立的结论推广到全部度数，而四态恰是谱阈值仍然精确的边界情形。@@M@@0<\lambda<1@@ 的铁磁四态 Potts 广播模型，证明在有界度确定性生根树上重构当且仅当树的带边阻 @@M@@\lambda^{-2|e|}@@ 的 @@M@@L^3@@ 容量为正：一个不依赖正则性或增长率假设的精确判据，连指数临界边界也能判定@@M@@b\ge2@@ 正则树与均值 @@M@@d>1@@ 的观测泊松树上重构当且仅当 @@M@@d\lambda^2>1@@、等号处不重构（两种符号均成立），并据树到图转移推出三社区稀疏随机块模型的精确弱恢复阈值 $(a-b)^2>3(aResolves Schramm’s Hausdorff-measure question for chordal SLEκ, $`0\lt \kappa\lt 8…
@@M@@0<\kappa<8@@，本文构造出只依赖 @@M@@\kappa@@ 的确定性豪斯多夫规范（Hausdorff gauge）@@M@@h_\kappa@@，使弦 @@M@@\mathrm{SLE}_\kappa@@ 任一非平凡紧段 $\gamma([s,t])@@M@@0<\kappa<8@@、@@M@@d=1+\kappa/8@@ 时，规范 @@M@@h(r)=r^d(\log\log(1/r))^{(2-d)/2}@@ 使 @@M@@\mathrm{SLE}_\kappa@@ 每段轨迹On every infinite connected locally finite simple unweighted graph, the free uniform spanning forest…
Proves Gaussian free field limits on bounded smooth simply connected domains for triangular-lattice …
@@M@@x\in[1/\sqrt2,1]@@，除以正常数 @@M@@\sigma(x)@@ 后收敛到零 Dirichlet 高斯自由场，覆盖均匀模型与预测临界@@M@@+1@@ 与 @@M@@-1@@ 的均匀奇整数 Lipschitz 高度场，中心化后收敛到 Dirichlet 高斯自由场的普适倍数，归一化常数由绝对收敛的有限体积计数公式显式给出，从而解决 Schramm 问题 2.@@M@@_4@@，解决 Schramm 问题 2.3；场方差与边界高度经一个隐Identifies the joint scaling limit of Ashkin–Teller heights and both complete current-cluster collec…
Gives an exact variational formula for the limiting pressure of orthogonally invariant Ising spin gl…
For random k-SAT with independent uniformly signed proper clauses sampled with replacement, p…
@@M@@k\ge3@@ 的随机 @@M@@k@@-SAT 存在有限的极限阈值密度 @@M@@\alpha_k@@：子句密度低于它时公式渐近可满足，高于它时渐近不可满足。这一三十余年悬置的可满足性猜想的解决优先权属 Carenini，本文给出一条技术路线独立@@M@@n@@ 个变量上的随机 3-SAT，证明了首个不可满足前缀下标 @@M@@H_n@@ 的方差恰为 @@M@@\Theta(n)@@：新证明的上界 @@M@@\operatorname{Var}(H_n)\le Cn@@ 去掉了姊妹篇 @@M@@O(n\log n)@@ 估计中@@M@@k\ge3@@ 的随机 @@M@@k@@-SAT，证明了首个不可满足前缀下标 @@M@@H_n@@ 的方差在 @@M@@k\ge4@@ 时恰为 @@M@@\Theta_k(n)@@；@@M@@k=3@@ 时介于正常数倍 @@M@@n@@ 与 @@M@@n\log n@@ 之间（对数空隙由 3-SAT@@M@@\alpha_3@@ 存在，且是可计算实数（computable real）：一台不用神谕、不带任何不可计算常数的确定性图灵机就能把它算到任意Determines when the free zero-field ferromagnetic Ising state on the infinite d-regular tree …
@@M@@d@@-正则树上自由零场铁磁 Ising 态作为”独立同分布标签的因子”（factor of IID）的精确门槛：当且仅当 @@M@@\tanh\beta\le(d-1)^{-1/2}@@，含临界等号情形。这证明了 Nam–SlyProves the diameter form of Nienhuis’s predicted three-quarter exponent: a uniformly chosen n…
@@M@@r^{-2+o(1)}@@、长度加权质量为 @@M@@r^{-2/3+o(1)}@@；由此长度至少 @@M@@n@@ 的多边形直径依概率为 @@M@@n^{3/4+o(1)}@@，严格确立了@@M@@R^{4/3+o(1)}@@，覆盖六边形、半平面、平行带与楔形四类几何，且半平面平均长度同为此指数，验证了 Nienhuis 的 4/3 长@@M@@\chi>0@@，确定了临界蜂窝柱面上”分隔两个标记点的不交多边形族”配分函数的增长指数 @@M@@\tau(\chi)@@；@@M@@\chi=2@@ 时为 @@M@@1/6@@，对应平面嵌套指数 @@M@@1/12@@，严格证明@@M@@n@@ 的均匀自避行走，以任意高多项式概率同时满足直径为 @@M@@n^{3/4+o(1)}@@、局部质量与覆盖数均呈 @@M@@4/3@@ 指数。Nienhuis 的 @@M@@3/4@@ 指数预言首次在”每个整数长度、上下双@@M@@2@@ 处，本文证明平衡无限圆柱上分离双标记的不交蜂窝多边形配分函数为 @@M@@m^{1/6+o(1)}@@，并由此推出平面嵌套指数 @@M@@1/12@@、六边形弦配分 @@M@@R^{3/4+o(1)}@@、归一化平@@M@@2h(\log h)^{1/64}@@、长度介于 @@M@@h^{4/3}(\log h)^{-1/8}@@ 与 @@M@@2h^{4/3}(\log h)^{1/2}@@ 之间的桥，其总质量至少 $c\,h@@M@@H@@ 的简单多边形 (simple polygon) 按平移类计数、以长度平方加权，总质量至多 @@M@@H^{2/3+o(1)}@@；配套的双标记圆柱估计与单弧多项式@@M@@\asymp R^{-1/4}@@、平均长度 @@M@@R^{4/3+o(1)}@@，且把横向游走限制在固定宽度 @@M@@CR@@ 的走廊后指数不变；同时得到@@M@@h@@ 层蜂窝条、起点固定而终点口自由求和的桥 (bridge)，其质量为 @@M@@h^{-1/4+o(1)}@@、平均长度为 @@M@@h^{4/3+o(1)}@@；同一证明给出正六边形中宏观自由边界弦的中心访问概率 $R^{-2@@M@@3/4@@：端距与直径 @@M@@n^{3/4+o(1)}@@，固定高度桥长 @@M@@h^{4/3+o(1)}@@，并确定微小力自由能指数，系统兑现@@M@@N@@ 条带的自避行走穿越质量 @@M@@\mathcal B_N\asymp N^{-1/4}@@、返回拱的水平位移一阶矩 @@M@@m_N\asymp N^{3/4}@@：首次以固定常数上下界锁定悬置四十余年的预言幂次 $-1@@M@@B_h\asymp h^{-1/4}@@、长度一阶矩至多 @@M@@Ch^{13/12}@@、长桥（长度 @@M@@\ge ch^{4/3}@@）份额至少 @@M@@ch^{-1/4}@@，并给出柱面上双标记多边形的一致界——这是整个 $@@M@@x=(2+\sqrt2)^{-1/2}@@ 下，证明边长 @@M@@R@@ 的等边格点三角形中宏观自回避弦的配分和 @@M@@\asymp R^{3/4}@@、平均长度为 @@M@@R^{4/3+o(1)}@@，并确定柱面双真空帽选择的振幅为 $N^{1/6Proves that the Thorp shuffle randomizes N=2^d labeled cards in \Theta(\log N) physical shuf…
@@M@@2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌经 @@M@@1600d@@ 次完整洗牌后，整副牌的排列律在总变差（total variation）意义下收敛到均匀分布，而支撑计数给出 @@M@@2d-O(1)@@ 的下界，从而把该洗牌的最优混合阶确定为 $\The@@M@@2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌在 @@M@@32800d@@ 次后全排列律收敛到均匀分布、对最坏初始牌序一致；固定表估计与姊妹篇的 Fourier 传递结合改进到 @@M@@512d@@ 次，共同确立最优混合阶 $\Theta(d@@M@@n@@ 沿 8 的倍数增大时，若均匀随机 @@M@@7n/8@@ 张牌的像在平均总变差下接近均匀注入分布、且符号均值趋于零，则两个独立同律排列的乘积收敛到 @@M@@S_n@@ 上的均匀分布，把”部分置换信息”升级为”全牌混合”。@@M@@n=2^d@@ 张牌经 @@M@@2048d@@ 次物理洗牌后排列律趋于均匀；关键在于即使观察任意一大批牌的完整路径，其余牌的条件落点仍近乎均匀。@@M@@2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌中固定并公开一半牌的全部轨迹后，剩余半副牌的条件置换律仍在期望总变差意义下趋于均匀，从而整副牌在 @@M@@16040400\,d@@ 次物理洗牌内混合，阶数 $\Theta(\log n@@M@@N=2^d@@ 张牌，绝对常数次坐标”扫”即可使整副牌排列律与均匀律的总变差趋于零，Thorp 洗牌混合时间具最优阶 @@M@@\Theta(\log N)@@；主结果已有 Lean 形式化证明。@@M@@N=2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌（Thorp shuffle）只需 @@M@@\Theta(\log N)@@（即 @@M@@\Theta(d)@@）次物理洗牌即可让整副排列在全变差（total variation）意义下混合到均匀分@@M@@n=2^d@@ 个位置的 Thorp 洗牌，绝对常数次坐标扫掠（即 @@M@@O(d)@@ 次物理洗牌）就能把整副排列与均匀分布的全变差（total variation）距离压到 @@M@@\tfrac12n^{-5}@@ 以内，且对任意@@M@@n=2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌（Thorp shuffle）在 @@M@@\Theta(d)@@（即 @@M@@\Theta(\log n)@@）次物理洗牌内完成整副排列的全变差（total variation）混合，匹配支集计数下界 $2@@M@@2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌，存在绝对常数 @@M@@L@@，使 @@M@@L@@ 次坐标扫掠后整副牌的置换密度与均匀律的平方 @@M@@L^2@@ 距离趋于零，混合时间（mixing time）为 @@M@@\Theta(d)@@ 次物理洗牌，与支撑集下界同阶@@M@@S_4@@ 上近均匀且坐标边际恰均匀的置换律满足指数严格小于 2 的 permanent（积和式）不等式，并用它驱动四行矩递归，证明固定次数坐标扫掠使 @@M@@N=2^d@@ 张牌的 Thorp 洗牌整置换趋于均匀，混合时间达最优阶 $ODetermines the sharp exponential singularity rate of symmetric random sign matrices with independent…
@@M@@\pm1@@ 的对称随机矩阵满足 @@M@@\Pr(\det A_n=0)=(1/2+o(1))^n@@：最朴素的”两行相等”机制就是奇异的全部指数级来源，对称模型悬置的精确奇异率由此确定。@@M@@p\in(0,1)\setminus\{1/2\}@@ 取 1 的对称符号矩阵满足 @@M@@\Pr(\det A_n^{(p)}=0)=(p^2+(1-p)^2+o(1))^n@@，且该指数率恰由”两行相同”Proves Shelah’s eventual categoricity conjecture in ZFC: for each bound on the Löwenheim–Skolem numb…
@@M@@\aleph_0@@ 的抽象初等类：它在指定阈值 @@M@@\beth_{\omega_2}=H(K)@@ 处有两个不同构模型，却在所有 $\ge\beth_{(2^{\aleph@@M@@\lambda@@ 存在统一阈值 @@M@@\mu(\lambda)@@，凡 Löwenheim–SkolEvery order automorphism of the Turing degrees is the identity, resolving their rigidity problem. Th…
@@M@@(\mathcal{D}_T,\le_T)@@ 完全刚性：任何保序自同构必为恒等，正面解决刚性猜想，并连带证实 Slaman–Woodin 双解释猜想——”谁计算谁”的序关系足以唯一标记每Every recursively enumerable set of tuples of natural numbers has a Diophantine representation with …
Confirms the Blass–Gurevich–Shelah noncapture conjecture: consistency of a linear system over 𝔽…
@@M@@\mathbb F_3@@ 上的一个线性方程组相容性查询属于 P，却无法Assuming ZF is consistent, constructs a model in which every surjective image of a set injects into …
@@M@@\ZF+\PP+\ACwo+\neg\AC@@ 一致，否定了自 1902 年 Beppo Levi 提出后悬置百余年的公开问题。Proves that weak normalization implies strong normalization for every pure type system: if every leg…
Every word-hyperbolic group with boundary homeomorphic to S2 admits a proper cocom…
Constructs an infinite finitely presented residually finite group whose elements all have finite 2-p…
@@M@@\Gamma=\mathop{\mathrm{St}}\nolimits_{12}(R)@@ 是剩余有限的：其有限指标子群 @@M@@G@@ 中每个元素的阶都是 @@M@@2@@ 的幂，得到首个兼具”普通有限呈现＋剩@@M@@\mathop{\mathrm{St}}\nolimits_{12}(R)@@，并同批造出有限呈现、无穷维、逐元素幂零却不幂零的结合代数，一并否定有限呈现 Burnside 问题、UfnarovskProves that Thompson’s group F, the group of dyadic piecewise linear homeomorphisms of the in…
@@M@@F@@——区间 @@M@@[0,1]@@ 上二进分段线性同胚构成的群——不是顺从群（nonamenable），确认了 Geoghegan 1979 年猜想，为这个悬置四十余年的几何群论难题画上句号。Constructs a finitely generated residually finite group with integral cohomological dimension two an…
@@M@@G@@，其整上同调维数为 @@M@@2@@ 而几何维数为 @@M@@3@@，从而否定 Eilenberg–Ganea 猜想：@@M@@G@@ 不存在任何二维分类空间，即便允许无穷多个胞腔。这一悬A finitely generated group has decidable word problem exactly when it embeds in a finitely presented…
@@M@@F_\infty@@ 型的非平凡单群——即拥有每维只含有限多个胞腔的分类空间。由于 @@M@@F_\infty@@ 蕴涵有限@@M@@F_\infty@@ 型群 @@M@@H@@，它同时包含每一个有限呈现群；其有限生成子群（在同构意义下）恰为全部有限生成递归呈现群。这回答了高维 Higman 嵌入问题的 @@M@@F_\infty@@ 形式，且对输入群完全不作字问题（word pResolves Dixmier’s problem for all discrete groups: amenability is equivalent to every uniformly bou…
@@M@@G@@ 都有一致界 @@M@@|\pi|\le 1+\varepsilon@@、却不能相似于任何酉表@@M@@>1/10@@ 的距离，肯定回答了 Burger–Ozawa–Constructs a torsion-free word-hyperbolic group that is not residually finite, answering the residua…
Constructs an infinite finitely presented simple amenable group, answering the longstanding question…
The Salvetti complex of every finite-rank Artin group is aspherical, proving the Artin K(\pi,1) …
@@M@@K(\pi,1)@@ 空间，从而在有限秩范畴彻底解决悬置半个多世纪的 Arti@@M@@2,3,\infty@@ 的 Artin 群（Artin group），证明它不容许任何非空真 CAT(0) 空间上真且余紧的等距作用，从而推翻了 Artin 群的 CAT(0) 猜想。Proves that every finitely generated group quasi-isometric to a finitely generated virtually polycyc…
Proves that every finite system of equations over an arbitrary group whose exponent-sum matrix has f…
@@M@@\mathbb{Q}@@ 中行满秩的有限方程组（非奇异方程组），必可在包含系数群的某个扩群中同时求解，且系数群在商群中保持嵌入。对系数群没有任何可数性、有限性或挠的限制。@@M@@A@@ 添加一个生成元 @@M@@t@@ 与一个关系 @@M@@w=1@@，商群 @@M@@(A*\langle t\rangle)/\langle\!\langle w\rangle\!\rangle@@ 仍非平凡Answers negatively whether every word-hyperbolic group is a CAT(0) group. Constructs one with a fini…
@@M@@\mathrm{CAT}(0)@@ 空间上有真且余紧的等距作用，从而对”每个双曲群都是 @@M@@\mathrm{CAT}(0)@@Proves Gersten’s conjecture: every finitely generated one-relator group containing no Baumslag–Solit…
@@M@@\mathrm{BS}(m,n)@@（@@M@@m,n\ne0@@），就必为词双曲群。单关系群双曲性的子群障碍至此被完全归结为 BS 子群；与姊妹篇结Constructs a finitely generated group with two essentially free probability-measure-preserving actio…
Proves the sharp enclosing-area spacetime Penrose inequality for smooth one-ended asymptotically fla…
@@M@@m@@ 满足 @@M@@m\ge Q@@ 且 @@M@@r_A\le m+\sqrt{m^2-Q^2}@@；取等时原始数据整体恰为 dyonic Reissner@@M@@n\ge4@@ 首次证明纯电荷上面积不等式 @@M@@m\ge|Q|@@、@@M@@X_A\le m+\sqrt{m^2-Q^2}@@，并把取等数据分类为 Reissner–Nords@@M@@m\ge\sqrt{A_{\min}/16\pi}@@；4D：@@M@@m_e\ge\frac12(A_e/\omega_3)^{2/3}@@），等号分别被 Schwarz@@M@@m^2\ge \frac{A}{16\pi}+\frac{Q^2}{2}+\frac{\pi(Q^4+4J^2)}{A}@@：不假设最大性或稳态，仅由初始@@M@@J@@ 取裸引力 ADM 通量、电磁场只衰减 @@M@@O(r^{-2})@@ 时，Kerr–Newman Penrose 不等式被严格违反，且存在取等但不来自 Kerr–Newman 时空的数据——从而证明该不@@M@@m_{\AH}\ge\sqrt{\frac{A_{\min}}{16\pi}}\bigl(1+\frac{A_{\min}}{4\pi}\bigr)@@：仅用@@M@@-3@@ 的最大（maximal）渐近双曲初值数据上证明了最佳常数的 Penrose 不等式：不变质量 @@M@@\ge\frac12(r_A+r_A^3)@@，@@M@@r_A@@ 由最小围住面积给出；边界可不连通、紧致部分拓扑任意，等号@@M@@n\ge3@@ 证明了最佳时空 Penrose 不等式：质量的洛伦兹范数 @@M@@\ge\frac12\bigl(A_{\min}/\omega_{n-1}\bigr)^{(n-2)/(n-1)}@@，面积取全体完整围住切割的下确界@@M@@n\ge3@@ 上给出了带”最小化边界”的黎曼 Penrose 不等式（Riemannian Penrose inequality）的完整共形流证明：ADM 质量不低于边界总面积决定的临界值，且允许 @@M@@n\ge8@@ 时边@@M@@m\ge\frac12(A_{\min}/\omega)^{(n-2)/(n-1)}@@ 中取等，当且仅当原始初值数据（含第二基本形式 @@M@@K@@）整体等距嵌入为 Schwarzschild–Tangh@@M@@m_{\rm ADM}\ge\sqrt{A_*/(16\pi)}@@（三维@@M@@m_B@@，据此在该类数据上证得尖锐的Resolves the predicted spectral contrast for the lattice Anderson model with independent uniform sit…
@@M@@d\ge3@@、无序强度 @@M@@\lambda@@ 充分小且固定时，几乎必然存在一个不依赖 @@M@@\lambda@@ 的开能量区间，谱在其上纯绝对连续且质量非零——正面解决了 Simon 问题Proves the sharp one-dimensional Lieb–Thirring inequality for 1/2\lt \gamma\lt 3/2 and arbitrary…
@@M@@1/2<\gamma<3/2@@ 与任意有限矩阵维数，本文把一维矩阵 Lieb–Thirring 不等式（Lieb–Thirring inequality）的取等势完全分类：在某个不随位置变化的酉基下，取等势恰是有限个标量 $\math@@M@@m@@ 与 @@M@@1/2<\gamma<3/2@@，本文证明一维矩阵势的 Lieb–Thirring 不等式（Lieb–Thirring inequality）成立，且最优常数就是标量单束缚态常数、与矩阵大小无关；势矩阵可在不@@M@@1/2<\gamma<3/2@@ 全部证实：最优常数是单束缚态常数 @@M@@L^{(1)}_{\gamma,1}@@ 而非半经典常数，由显式 @@M@@\mathrm{sech}^2@@ 孤子取到。至此该For the full nonrelativistic Coulomb model with two electron spin states, proves that a molecule wit…
@@M@@M@@ 个固定原子核、总核电荷 @@M@@Z@@ 的分子最多严格束缚 @@M@@Z+CM@@ 个电子（@@M@@C@@ 为普适常数），且中性原子的首电离能与”半电子外半径”都被正常数上下夹住。这是完整库仑模型下电离猜想的首次完整解答，也是本族另两篇的证明地基。@@M@@m@@ 个电子的费用 @@M@@I_m(Z)\sim a_{\rm TF}m^{7/3}@@，只要 @@M@@m\to\infty@@ 且 @@M@@Z/m\to\infty@@；常数正是托马@@M@@m@@ 的半径先对 @@M@@Z@@ 取上、下极限再让 @@M@@m\to\infty@@，均渐近于 @@M@@(81\pi^2/2)^{1/3}m^{-1/3}@@，与 Solovej 在Proves local strong cosmic censorship near each fixed rotating subextremal Kerr bridge. A dense G…
@@M@@M>0@@、自转 @@M@@0<|\mathfrak a|<M@@），在其完备双端初值附近，其极大发展能向未来延拓为”度量连续非退化且弱联络局部平方可积”的真空初值，在加权光滑拓扑中构成贫集（meagre@@M@@M>0@@、@@M@@0<\mathfrak a<M@@），在其完备双端真空初值的一个加权光滑邻域中，存在稠密 @@M@@G_\delta@@ 集，其中每个初值的极大整体双曲发展都没有未来 @@M@@C^1@@ 延拓——环境延拓甚@@M@@C^2@@ 延拓的初值构成贫集（meagre set）。这是本族的奠基篇：它构建的比较发展与波束构造，也被 @@M@@C^1@@ 与 @@M@@W^{1,2}@@Proves an entropy area law for unique ground states of finite-range Hamiltonians on arbitrary finite…
@@M@@L\times L@@ 方格上仅有全系统谱隙的最近邻哈密顿量基态，必可用键维数（bond dimension）为 @@M@@L@@ 的多项式、归一化后整体向量误差不超过 @@M@@L^{-1}@@ 的 PEPS 逼近，常数只依赖局域维数、作用强度Proves N(6)=3, resolving Zauner’s dimension-six mutually unbiased bases conjecture: three such b…
@@M@@\mathbb{C}^6@@ 中两两无偏的正交基最多只有 3 个，即 @@M@@N(6)=3@@，解决了 Zauner 提出三十余年的六维 MUB 猜想：下界来自 @@M@@\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^3@@ 的张量积构造，上界则由一次完整的认证计算排除 4 个基的@@M@@\alpha=(1,1,1,-1,-1,-1)@@ 的所有置换下特征和为零；并用Proves Bose–Einstein condensation for the exact canonical Gibbs state of the three-dimensional hard-…
@@M@@\sqrt{8\pi\rho a}@@ 下收敛到 Bogoliubov 剖面，总质量 $\frac{8@@M@@v@@（散射长度 @@M@@a_v@@），基态在常值轨道之外的占比沿一切热力学聚积值均为 $\frac{8}{3\sqrt\pi}\sqrt{\rho a_v@@M@@v@@，论文证明稀薄玻色气体正则吉布斯态的常数轨道凝聚分数（condensate fraction）有统一正常数下界 @@M@@c_*(v)@@：它对所有足够小的密度及一切 $0\le T\le\rho^@@M@@a@@ 与固定密度 @@M@@\rho@@（气体参数 @@M@@\rho a^3@@ 足够小）下取热力学极限，论文证明每一个基态——允许复值波函数、允许基态空间简并——的常数轨道凝聚分数都不低于绝对Proves the spin-one Haldane gap conjecture for the pure antiferromagnetic Heisenberg chain on even p…
@@M@@L\ge60@@ 时基态唯一，谱隙有与长度无关的显式正下界，无穷体积隙 @@M@@\Delta_1\ge\log(20)/784>0@@。这一悬置四十余年的猜想首次在纯双线性模型上@@M@@h=3/5@@ 时谱隙一致大于 @@M@@\log(10)/392@@（@@M@@L\ge960@@），从而验证了 Tasaki 拓扑指标定理的隙假设，并推出边界遴选无穷体积基态势的 Tasaki 指Proves the fermionic Laughlin spectral-gap conjecture for the full V1 interaction …
@@M@@V_1@@ 哈密顿量在弱有界标量无序势下仍保有唯一基态与一致谱隙，且谱隙与无序阈值对所有充分大的粒子数、一切归一化势剖面一致成立。@@M@@V_1@@ 相互作用、1/3 填充下，Laughlin 态之上的谱隙对所有充分大系统至少 @@M@@1/25@@；更强的 Fock 空间不等式 @@M@@H_Q^2\ge\gamma H_Q@@（$\gammaProves that the undeformed relative \mathrm{SU}(N) BFSS model has exactly one normalizable zero-…
@@M@@\mathrm{SU}(N)@@ BFSS 矩阵量子力学对每个 @@M@@N\ge2@@ 恰有一个可归一化（normalizable）的零能态，即 @@M@@\dim\ker H_N=1@@，解决了 Witten 提出、矩阵理论@@M@@\mathrm{SU}(2)@@ BFSS 哈密顿量有无穷多个趋于无穷、带平方可积特征向量的正特征值，从而在 @@M@@N=2@@ 处推翻了 BFSS 原文”除零能阈值态外无其他可归一化束缚态”的断言。Proves Bloch’s T3/2 law with its exact coefficient for three-dimensional quantum H…
@@M@@S@@、一切非负对称有限程耦合下的 Bloch @@M@@T^{3/2}@@ 律，低温磁化缺陷的系数由单磁振子色散的二次型行列式精确给出，解决了 Lieb 记录多年的公开问题。@@M@@o(\beta^{-5/2})@@，严格给出 Bloch 律之后的首个晶格修正项，与 Dyson 1956 年的物理预测完全一致。@@M@@m@@，且全程无需联合测量不对易观测量。@@M@@d\ge3@@ 和自旋 @@M@@S\in\{\frac12,1,\frac32,\ldots\}@@，近邻量子海森堡铁磁体在足够低的正温下存在平移不变的自发磁化 KMS 平衡态，磁化 $\omega(S_0^z)\ge S/4Constructs an entangled state on \mathbb C^{10}\otimes\mathbb C^{10} with zero distillable secre…
@@M@@\mathbb C^{10}\otimes\mathbb C^{10}@@ 上显式构造出一个纠缠态：即便双方可联合处理任意多份副本、进行无限双向认证公开通信，窃听者还持有体系纯化态与全部公开记录，其可蒸馏秘密密钥（distillableProves the entropy photon-number inequality for beam-splitter mixing of two independent finite-energ…
Resolves Moore’s parity conjecture in the measured-output model: constant-depth quantum circuits wit…
Proves QMA-hardness of approximating the electronic Coulomb energy infimum in three dimensions, mini…
@@M@@E_0@@ 是 QMA 难的，即使原子核位于互异有理位置、电子数按一元编码、精度只要求 @@M@@L^{-1}@@。归约是确定性多项式时间的，输出的核电荷可以指数大（@@M@@1@@（氢核）、位置为互异有理数时，在全自旋费米连续空间上逼近电子基态能下确界 @@M@@E_0@@ 仍是 QMA 难的。确定性多项式归约只输出多项式多个单位核、电子与有理阈值，阈隙至少 1，全程不借助轨道基、磁场或束Determines the unassisted classical capacity of every qubit generalized amplitude-damping channel, i…
Proves exponential threshold repetition for every finite two-player one-round game: if its entangled…
@@M@@v<1@@，在 @@M@@k@@ 次独立重复中获胜占比超过 @@M@@v+\delta@@ 的概率便对一切有限维联合策Constructs a three-electron Coulomb molecule with two equal positive-integer-charge nuclei whose abs…
@@M@@Z@@），并证明其绝对基态密度无法由任何单个实、自旋无关的 @@M@@L^{3/2}(\mathbb R^3)+L^\infty(\mathbb R^3)@@ 局域势下无相互作用电子的Gives a polynomial-time uniform quantum circuit family that outputs the complete prime factorization…
@@M@@N\ge2@@ 的完整素因子分解，门数与量子比特数均为输入比特长度的多项式——把 Shor 分解算法的”高概率成功”升级为”必然成功”。Proves the strongly rational case of the strong-locality conjecture: every simple unitary strongly r…
Proves that QAOA approaches the ground-state energy of the Gaussian zero-field Sherrington–Kirkpatri…
@@M@@\gamma@@，其 Stieltjes 测度的支撑在 @@M@@[0,1)@@ 上是满的：低于 1 的任何重叠尺度处都没有间隙，且 @@M@@\gamma@@ 光滑、导数严格为正——这正是族Under the stated bounded-local-net and field-reconstruction hypotheses, proves that scale symmetry i…
Solves the constant-error Aaronson–Kuperberg unitary synthesis problem: a uniform polynomial-size qu…
@@M@@n@@ 生成的多项式规模量子 oracle 线路，配上一个依目标幺正而定的布尔函数，即可把任意 @@M@@n@@ 比特幺正通道实现到菱范数误差 @@M@@\le 1/2@@。Shows that the universal bound R(f)=O((1+Q(f))^4) for total Boolean functions is sharp in its ex…
@@M@@F_{k,m}@@：量子算法只需 @@M@@\sqrt m\,(\log m)^{O_k(1)}@@ 次查询，而任何随机算法都需约 @@M@@m^{2-1/k}/(\log m)^2@@ 次，两者之比可任意逼近四次幂。这证明已知的四次普适Disproves the coefficient-free reduced Baum–Connes conjecture through a failure of rational injectiv…
@@M@@G_{\mathrm{inj}}@@：环面 Dirac 类 @@M@@(Bi)_*[D_{T^2}]@@ 在拓扑侧是无限阶元素，经约化 Baum–Connes 装配映射（assembly map）后却变成零。这个无限阶核@@M@@G_{\mathrm{proj}}@@，其约化群 @@M@@C^*@@-代数中有投影 @@M@@e@@ 满足 @@M@@0<\tau(e)<\tfrac12@@，既非零也非单位元——Kadison–Kaplansky 投影猜想由此被否定。@@M@@G_{\mathrm{sur}}@@，其约化群 @@M@@C^*@@-代数中含有典范迹为无理数的投影 @@M@@b_0@@；由 Lück 迹定理，装配像中所有类的迹均为有理数，故 @@M@@[b_0]@@ 落在装配映射的像之外——无系数约化 BClassifies finite-index bimodules between scalar-twisted group factors of ICC groups commensurable w…
Resolves the free group factor isomorphism problem: L(\mathbb F_2)\cong L(\mathbb F_3), and henc…
@@M@@L(\mathbb F_2)\cong L(\mathbb F_3)@@。结合经典二择一，全体插值自由群因子（含 @@M@@L(\mathbb F_\infty)@@）彼此同构、基本群均为Proves Kadison’s similarity conjecture: every bounded complex-linear unital algebra homomorphism fro…
@@M@@C^*@@-代数到任意 Hilbert 空间算子的每个有界保单位代数同态，都能经某个有界可逆算子共轭为 @@M@@*@@-同态；并顺带证明所有 von Neumann 代Proves that sufficiently close unital von Neumann algebras on the same Hilbert space are conjugate b…
@@M@@\varepsilon>0@@ 存在仅依赖 @@M@@\varepsilon@@ 的 @@M@@\delta>0@@，使同一 Hilbert 空间上 Kadison–Kastler 距离小于 $\delt@@M@@C^*@@-代数形式的 Kadison–Kastler 空间共轭猜想：对任意 @@M@@\varepsilon>0@@，构造出共单位元、范数可分、@@M@@d_{\mathrm{KK}}(A,B)<\varepsilon@@ 且 von NeumanProves Connes’ bicentralizer conjecture for every type III1 factor with separable predual…
@@M@@N\subset M@@，都存在含于 @@M@@N@@ 的可均子代数 @@M@@P@@，使 @@M@@P@@ 与 @@M@@N@@ 在连续核 @@M@@c(M)@@ 中的交换子完全相同；并给出 Co@@M@@_1@@ 因子上任何忠实正规态的双中心子都是标量。Proves equivariant Jiang–Su stability for every countable discrete amenable group action on a simple…
@@M@@\mathcal Z@@-稳定的 C*-代数上的任意作用，都在循环上同调共轭意义下自动吸收 Jiang–Su 代数上的平凡作用，对@@M@@\mathcal Z@@-稳定；更一般地，Cuntz 半群几乎无穿孔且完全几乎可除的可分核代数吸@@M@@\le1@@“三者等价，解决 Robert–Tikuisis 猜想 (C1) 及非单 Toms–Winter 正则性问题的核维数等价，并对一切\mathcal O_2$ norm-ultrapower embedding problemConstructs an explicit separable unital full group C∗-algebra that cannot embed un…
@@M@@C^*@@-代数 @@M@@A=C^*(G)@@，其中 @@M@@G=\mathbb{Z}[1/2]^3\rtimes(\SL_3(\mathbb{Z})\times\mathbb{Z})@@，并证明 @@M@@A@@ 不能幺嵌入任何非零Constructs a nonzero norm-quasinilpotent operator on every infinite-dimensional separable complex Hi…
@@M@@\theta@@，本文构造了仅在一点为零、对数积分为 @@M@@-\infty@@ 的连续圆权 @@M@@f@@，使超有限 @@M@@\mathrm{II}_1@@ 因子中的加权旋转 @@M@@T_f=Uf(V)@@ 没有任何非平凡不变投影，否定回答了 ZDisproves Kaplansky’s quasitrace conjecture by constructing a separable unital complex C…
@@M@@C^*@@-代数：它拥有正规化 2-拟迹（2-quasitrace）却没有任何迹态，且所有拟迹在一对固定正元上非可加，从而推翻 Kaplansky 拟迹猜想；进而两个单的稳定有限代数之最小张量积可以真无限，一个因子可取Proves that every bounded Hochschild cocycle of degree at least two on a complex von Neumann algebra…
@@M@@M@@，论文证明每个次数 @@M@@k\ge2@@ 的有界 Hochschild 上闭链（cocycle）都有有界原像（primitive），即 @@M@@H_b^k(M,M)=0@@；与一次情形Proves that every type II1 factor with separable predual is generated by a single operato…
@@M@@\mathrm{II}_1@@ 因子由单个算子（等价地两个自伴算子）生成，且不可约包含下相对生成元构成稠密 @@M@@G_\delta@@ 集；结合 Willig 约化，生成元问题获肯定解答。Gives an alternative to Tanaka’s ZFC construction of a unital …
@@M@@C^*@@-代数，其全部非零不可约表示彼此酉等价，从而对 Naimark 问题给出否定回答。Constructs a bounded self-adjoint tuple in a tracial von Neumann algebra whose microstates and nonmi…
@@M@@\chi@@ 与非微状态自由熵 @@M@@\chi^*@@ 均为有限值，却满足 @@M@@\chi\leq\chi^*-\tfrac12@@。这否定地回答了 Voiculescu 的有限熵相等问题：即使两种自由熵都A nonzero unital separable complex C∗-algebra is Jiang–Su stable exactly when its …
@@M@@C^*@@-代数吸收 Jiang–Su 代数 @@M@@\mathcal Z@@，当且仅当其范数中心序列代数对任意自由超滤子都无特征标；并推出无特征标代数的无穷极小张量幂必 $\matProves that every self-adjoint element of a complex von Neumann algebra admits strong-operator pavin…
@@M@@\varepsilon@@ 完成范数铺陈@@M@@5\times10^8\varepsilon^{-2}@@ 个投影完成 so-铺陈；指数 @@M@@2@@ 已达最优，且不设可分性或条件期望Classifies separable nuclear complex C∗-algebras after tensoring with the Razak–Ja…
@@M@@[0,\infty]@@ 的下半连续迹权构成的全迹锥，作为拓扑锥能完全分类可分核型 C*-代数的 Razak–Jacelon 稳定化：@@M@@T(A)\cong T(B)@@ 蕴含 $A\otimes\mathcal W\otimFor every minimal homeomorphism h of an infinite compact metrizable space X, the radiu…
@@M@@MU@@ 意义下的零化可在砸积中”成批传播”的过滤乘积定理；以及由此得到的保边界压缩定理——在秩亏丛嵌入条件下，任意大乘幂上的立方体值映射能把固定正比例的槽压到边界并逐一保住原边界值@@M@@h@@，交叉积的比较半径恰为平均维数之半（含无穷），即 @@M@@\rc(C(X)\rtimes_h\mathbb Z)=\tfrac12\mdim(X,h)@@；Resolves the ordinary-to-strong pure-infiniteness question of Kirchberg and Rørdam for complex C<…
@@M@@C^*@@-代数中每个正元都真无限（properly infinite）即蕴含强纯无限（strongly purely infinite），解决了 Kirchberg–Rørdam 比较问题的”普通→强”部分；对精确代数，固定Every locally compact second-countable Hausdorff group acting faithfully and jointly continuously on…
@@M@@p@@-进整数群 @@M@@\Zp@@ 的忠实作用，The unrestricted four-dimensional disk-embedding conjecture fails: framed algebraic dual spheres do …
@@M@@F_2@@ 不是 Freedman–Quinn 意义下的好群Distinct Dehn surgery slopes on a nontrivial smooth knot in S3 never produce orien…
@@M@@S^3@@ 中非平凡光滑纽结的纯装饰手术猜想（purely cosmetic surgery conjecture）：两个不同的 Dehn 手术斜率永远给出互不同胚（保定向意义）的三维流形，从而彻底解决了 Gordon 1991Constructs a uniformly discrete bounded-geometry space whose maximal coarse assembly map is not rati…
For every n ≥ 0, constructs a finite Smith–Toda spectrum at a prime p depending on …
@@M@@n\ge 0@@，论文证明 Smith–Toda 复形 @@M@@V(n)@@ 在某个依赖 @@M@@n@@ 的素数 @@M@@p@@ 处存在：总能找到有限 @@M@@p@@-局部谱，其 Brown–Peterson 同调恰为 $BP_*/(p,v_1,\ldots,@@M@@p=1009@@ 处构造出有限 @@M@@1009@@-局部谱 @@M@@X@@，其 Brown–Peterson 同调恰为 @@M@@BP_*/(1009,v_1,v_2,v_3,v_4)@@ 并带标准余模结构，解决了此前在任何素数处都悬而未决的 $Resolves the odd-primary Kervaire invariant problem at the prime three: exactly the standard classes…
@@M@@b_j@@ 恰在 @@M@@j=0,2,3@@ 存活（稳定维 10、106、322），每个存活类的检测陪集都含加法阶恰为 3 的元素，其Proves the rational-homology form of Quillen’s conjecture for every finite group and every prime. If…
@@M@@p@@-子群 @@M@@O_p(G)@@ 平凡，则初等交换 @@M@@p@@-子群偏序集 @@M@@\mathcal A_p(G)@@ 的增广约化有理同调非零Proves Chai’s invariant-ideal conjecture for Lubin–Tate deformation rings over finite residue fields…
@@M@@p@@ 与任意正高度 @@M@@n@@ 下证明了 Chai 关于 Lubin–Tate 形变环上稳定子不变理想的猜想，并经 Barthel–Heard–Naumann 的蕴涵推出 Hovey–Strickland 猜想：可对偶化 $KProves the Grothendieck homotopy hypothesis for ∞-groupoids associated with every Grothendieck coher…
K(n)$-local sphereAnswers the degreewise finiteness question of Hovey and Hovey–Strickland: every homotopy group of th…
@@M@@p@@、所有高度 @@M@@n\geq 1@@ 与所有整数次 @@M@@t@@，@@M@@K(n)@@-局部球面的同伦群 @@M@@\pi_t L_{K(n)}S_p^\wedge@@ 都是有限生成的 @@M@@\mathbb{Z}_p@@-模，肯定地回答了 HoveDetermines the optimal chromatic loss from geometric H-fixed points to geometric G-fix…
@@M@@p@@-群 @@M@@G@@ 与子群 @@M@@H@@，本文证明”色度不动点损失”@@M@@r_n(G,H)@@ 恰好等于从 @@M@@H@@ 到 @@M@@G@@、以循环群为商的最短次正规链长度 @@M@@\ell(G,H)@@，对一切素数 @@M@@p@@ 与高度 @@M@@n\ge0@@ 成立，正面解Proves that the L2-Betti numbers of the universal cover of every closed connected …
@@M@@L^2@@-Betti 数（@@M@@L^2@@-Betti numbers）只在中间维数 2 可能非零；同一消没结论对形式维数四的有限积分 PoincaProves Curtis’s conjecture: the positive-degree mod-two stable Hurewicz image of the sphere is spann…
@@M@@QS^0@@ 模 2 同调的正维 Hurewicz 像，恰由 Hopf 不变量一类 @@M@@\eta,\nu,\sigma@@ 与存在的 Kervaire 不变量一类 @@M@@\theta_j@@Resolves the Ara–Maltsiniotis conjecture: for every n ≥ 1 and n = ω, small stri…
@@M@@1\le n\le\infty@@，小严格球状（globular）@@M@@n@@-范畴上存在真（proper）的组合式模型结构，弱等价由 Street 神经检测，并与单纯Disproves strong chromatic splitting at height three for primes p ≥ 5, and weak splitting for…
@@M@@n\geq1@@、素数 @@M@@p\gt n+1@@ 时，色谱重叠对象 @@M@@L_{n-1}L_{K(n)}S_p^\wedge@@ 具有 @@M@@2^n@@ 个阶段的有序滤过，逐层余纤维恰为强色谱分裂猜想预言的全部局部球面碎片，且保留黏合映射——碎片清@@M@@p\geq5@@，论文把高度三重叠 @@M@@L_2L_{K(3)}\mathbb S_p^\wedge@@ 显式滤过为八个阶段，逐层余纤维正是强分裂猜想的八块局部球面层；两条带符号的断裂公式识别全部黏合映射，且第一条高度一黏合映射非零—@@M@@p\geq5@@，典范映射 @@M@@L_0L_{K(3)}S\to L_0L_{K(2)}L_{K(3)}S@@ 在 @@M@@\pi_{-3}@@ 上非零，据此推翻高度三的强色谱分裂公式——把反例从 @@M@@p=2@@ 推进到一切奇素数 $p\ge@@M@@p=3@@、高度三处，色重叠加（chromatic overlap）@@M@@L_2L_{K(3)}S@@ 不属于由 @@M@@L_0S,L_1S,L_2S@@ 生成的厚子范畴（thick subcategory）：无论多少次求和、移位、取余纤维与@@M@@p@@-完备球面 @@M@@X@@，典范弱色分裂映射 @@M@@i_{n,X}:L_{n-1}X\to L_{n-1}L_{K(n)}X@@ 在高度 @@M@@n=p@@（@@M@@p\geq5@@）与 @@M@@n=p+1@@（@@M@@p\geq7@@）处均无同伦收缩；经典球面Refutes the Hahn–Wilson conjecture at chromatic height two. For every sufficiently large prime p<…
@@M@@p@@，本文构造出 fp-型恰为 2 的连通 @@M@@p@@-完备谱 @@M@@X@@，它不能由 @@M@@\mathrm{BP}\langle2\rangle_p^\wedge@@ 经有限次求和、移位、上纤维与收缩得到，从而在色高度 2 否定 HConstructs closed connected aspherical topological four-manifolds that are homotopy equivalent but n…
@@M@@M@@ 与 @@M@@N@@：二者同伦等价（homotopy equivalent）却不存在任何同胚（homeomorphism），公共基本群还是词双曲（word-hypeConstructs a finite connected three-dimensional CW complex whose universal cover has no integral hom…
@@M@@D(2)@@ 问题的否定答案：构造了一个有限连通三维 CW 复形（CW complex），它满足 @@M@@D(2)@@ 有限性条件——万有覆盖在二阶以上整同调为零、三阶上同调对任意局部系数消失——却不同伦等价于任何维数至多Resolves Tingley’s problem: every surjective isometry between the unit spheres of nonzero real Banac…
Establishes, relative to the consistency of a measurable cardinal, that the separable quotient probl…
@@M@@\aleph_1@@ 的空间，独立性只需 ZFC 自身相容即得。Constructs separable real Banach spaces that are globally bi-Lipschitz equivalent but not linearly i…
@@M@@X,Y@@ 与双射 @@M@@\Psi:X\to Y@@，满足双侧 Lipschitz 界 $\frac{4}{21}|s-t|_X\le|\Psi(s)-\Psi(t)|_Y\le\frac{76}{25}@@M@@Z@@：它不含任何线性拷贝的 @@M@@c_0@@，却与 @@M@@Z\oplus_\infty c_0@@ 双 Lipschitz 等价——@@M@@c_0@@ 被”非线性吸收”，且同一空间双 Lipschitz 包含一切可分度量空间Resolves the complete Crouzeix conjecture: for every bounded operator A on a complex Hilbert …
@@M@@A@@ 与任意矩阵系数多项式 @@M@@P@@，恒有 @@M@@\|P[A]\|\le 2\max_{z\in W(A)}\|P(z)\|@@，其中 @@M@@W(A)@@ 为数值域；常数 2 达到最优，且与基维数、系数维数、次数全部无关——@@M@@A@@ 与任意矩阵值多项式 @@M@@P@@ 满足 @@M@@\|P[A]\|\le 2\sup_{z\in W(A)}\|P(z)\|@@，数值域闭包是完全 2-谱集Resolves the cotype–cotype conjecture for real Banach spaces with the approximation property. Such a…
@@M@@K@@-凸的，当且仅当它及其对偶都具有有限 Rademacher 余型，且两个指数可以不同。这解决了 Pisier 1981 年公开Proves that every real Banach space with Markov type p for some p > 1 admits an equ…
@@M@@p>1@@ 具有 Markov 型（Markov type）@@M@@p@@，就必然超自反；结合已知反方向，超自反性被”具有非平凡 Markov 型”完整刻画，并对 Naor 的重赋范问题给出否定回答。Resolves Kirk’s reflexive-space fixed-point problem: every nonexpansive selfmap of a nonempty closed…
Disproves Pietsch’s dimension-free duality conjecture for metric entropy. Origin-symmetric convex bo…
@@M@@a,b\ge1@@，都能构造中心对称凸体 @@M@@K@@ 与立方体 @@M@@L=[-1,1]^n@@，使 $\log N(K,L)>b\log N(L^\circ,a^{-Constructs a countable uniformly discrete metric space whose real Lipschitz-free Banach space has th…
@@M@@\ell_1@@ 上不具度量逼近性质的等价范数。Constructs a real reflexive Banach space with an asymptotically midpoint uniformly convex norm but n…
@@M@@X=J^*@@：其天然范数渐近中点一致凸（模 @@M@@\ge\sqrt{1+t^2/12}-1@@），却无任何等价的渐近一致凸范数；深度 @@M@@k@@ 的可数分支菱形图嵌入 @@M@@X@@ 失真必 $\ge\sqrt{1+k/@@M@@X=J^*@@ 与无穷高坐标预对偶 @@M@@B_\infty@@ 两个 James 树型空间，证明对称透镜中任意位移的尾部满足 @@M@@\|Q_Hy\|\le2\sqrt{R^2-\|x\|^2}@@；两个范数均渐近中点一致凸，却都无@@M@@k@@ 的菱形嵌入线段森林对偶或无穷高坐标预对偶均满足 @@M@@D^2\ge1+k/4@@；对路径费用、起点费用与递归树范数也得到幂型障碍。@@M@@L^1@@ 子空间，本文把平均渐近中点模与单侧渐近模精确算出为 @@M@@\max\{t/2,t-1\}@@ 与 @@M@@\max\{0,t-2\}@@，并证明任何等价范数都不渐近一致凸，把 Baudi@@M@@\widehat\delta(t)\ge\sqrt{1+t^2/4}-1@@，却都不容许任何等价的渐近@@M@@L^1@@ 闭线性张成，本文证明：指数律与高斯平方律给出的空间具有正的平均渐近中点模（AMUC），而任何正、非常数、均值为一的乘子律给出的空间都不容许等价的渐近一致凸（AUC）@@M@@t^3/128@@，却不容许任何等价的渐近一致凸范数，把 Baudier 的非自反分离反例推进到自反空间。Proves that real ℓ1 has metric Markov cotype two, answering Mendel and Naor’s ques…
@@M@@\ell_1@@ 具有二阶度量马尔可夫余型，常数 @@M@@N_2(\ell_1)\le 12\sqrt{21}@@，肯定回答了 Mendel–Naor 的公开问题；由此，从实 Hilbert 空间任意子集到 $\elEvery closed smooth Riemannian surface admits a smooth isometric immersion into ℝ4, resol…
@@M@@C^\infty@@ 等距浸入（isometric immersion）到 @@M@@\mathbb{R}^4@@。这把 Gromov 的闭曲面 $\matConstructs a smooth positive-definite metric on (-1,1)^2 for which no neighborhood of the origin…
@@M@@(-1,1)^2@@ 上一个光滑正定黎曼度量：它在原点与欧氏度量有相同的全阶 Taylor jet，但原点的任何邻域都不容许到 @@M@@\mathbb{R}^3@@ 的光滑等距浸入，对无限制的光滑局部等距实现问题给出否定回答。Proves \int_M(\mathrm{Scal}_g^-)^{n/2}\,dV_g\ge a_n\lVert M\rVert for every closed connected ori…
@@M@@n\ge 3@@ 有常数 @@M@@a_n\gt 0@@，使任意闭定向光滑 @@M@@n@@-流形上任一黎曼度量都满足 $\int_M(\mathrm{Scal}_g^-)^{n/2}\,dVEvery complete connected smooth boundaryless n-manifold, n ≥ 3, satisfying $`-4\Delta+…
@@M@@n\ge4@@ 证明了：满足谱型标量曲率不等式 @@M@@-4\Delta+\mathrm{Scal}\ge1@@ 的完备无边 @@M@@n@@ 维流形都可连续映射到 @@M@@n-2@@ 维单纯复形，且整根纤维的直径被仅依赖 @@M@@n@@ 的常数控制——把 Grom@@M@@-4\Delta+\mathrm{Scal}\ge\lambda>0@@（二次型意义）的任意完备无边三维流形都可连续映到一张图（一维复形），整根纤维直径 @@M@@\le500/\sqrt\lambda@@，且不需要定向、s@@M@@n\ge4@@ 证明 Gromov 标量曲率猜想的量化连续形式：@@M@@\mathrm{Scal}\ge1@@ 的完备无边 @@M@@n@@ 维流形可连续映到 @@M@@n-2@@ 维复形，整根纤维直径只依赖 @@M@@n@@；并推出闭正标量曲率流形的万有覆盖在一切 $Proves generalized Cartan–Hadamard isoperimetry in every dimension: in a complete simply connected m…
@@M@@\kappa\le 0@@ 的完备单连通流形中，任何有限体积、有限周长的集合，其周长不小于曲率 @@M@@\kappa@@ 模型空间中等体积球的面积；欧氏情形取等当且@@M@@n@@-圈（@@M@@n\ge2@@）都拥有满足锐欧氏质量界的紧支撑积分填充，$\mathbf M(S)\le\mathbf M(T)^{(n+1)/n}/\bigl((n+1)^{(n+1)Proves Yau’s uniformization conjecture: every complete connected noncompact Kähler manifold with str…
@@M@@\mathbb{C}^n@@；证明不要求任何曲率上下界、体积增长或拓扑假设，对所有复维数成立。Proves Katok’s entropy rigidity conjecture for closed connected Riemannian manifolds of dimension at…
Disproves the unrestricted nearby Lagrangian conjecture. For some sufficiently large even N, …
@@M@@N@@，使 @@M@@T^*(S^9\times S^{N-1})@@ 中有闭的、精确的、光滑嵌入的拉格朗日子流形，它与底流形微分同胚，却不能由零截面经紧支撑哈密顿同痕得到——推翻了无限制版的邻近拉格朗日猜想。Proves Donaldson’s hypersymplectic deformation conjecture in a cohomology-preserving form. Every pos…
@@M@@\int_X\omega_i\wedge\omega_j=\delta_{ij}@@ 的正定闭 2-形式三元组，都能在三Proves Donaldson’s tamed-to-compatible conjecture: every smooth almost complex structure on a closed…
@@M@@J@@ 保持不动、形式的上同调类可以改变。这一悬置二十年的辛几何核心存在性问题得到完整正面解答。Resolves the Siegel–Yao conjecture for arbitrary capacities in every dimension 2n\ge6. Finitely …
@@M@@R_1,\ldots,R_k@@ 的有限个闭辛球可两两不交地辛嵌入容量 @@M@@R@@ 的开球，当且仅当 @@M@@\sum_i R_i^n<R^n@@ 且 @@M@@R_i+R_j<R@@。这正面解决了 Siegel–Yao 猜Proves the metric Blaschke conjecture: every closed connected Riemannian manifold of positive dimens…
Proves that every smooth Riemannian metric on Sn, n ≥ 2, has infinit…
@@M@@S^n@@（@@M@@n\ge2@@）上的光滑黎曼度量都有无穷多条两两像不同的素闭测地线；结合 Perelman 几何化与 RademaProves that every stationary integral m-varifold in a Euclidean open set has singular set of …
@@M@@m@@-varifold，其奇异集 (singular set) 的 Hausdorff 维数 (Hausdorff dimension) 至多 @@M@@m-1@@，且该界无法改进——这解决了 Brena–@@M@@m@@-varifold，其奇异集 (singular set) 的 @@M@@m@@ 维 Hausdorff 测度为零——几乎所有支撑点附近，varifold 恰是某个光滑嵌入极小子流形的固定正整数倍；单位球Disproves stable-Morse lower bounds for nondegenerate Hamiltonian fixed points: on simply connected …
@@M@@22@@ 的单连通闭凯勒流形上，本文构造出非退化哈密顿不动点个数严格低于稳定 Morse 数的反例族：稳定 Morse 数为 @@M@@80+1968m@@，非退化不动点恰 @@M@@80+1952m@@ 个，亏额 @@M@@16m@@ 无界增长，从而在任何@@M@@3332@@、极小陈数为 @@M@@1@@ 的单连通闭凯勒流形上的哈密顿微分同胚：其 @@M@@1\,872\,232@@ 个非退化不动点恰好取等 Bai–Xu 的循环分次整 Floer 下界，却仍比稳定 Morse 数 $1\,872\,26@@M@@1412@@）上的哈密顿微分同胚，其 @@M@@318\,952@@ 个非退化、轨道可缩的不动点比流形稳定 Morse 数 @@M@@318\,968@@ 恰少 @@M@@16@@ 个，首次推翻”非退化哈密顿不动点个数不低于稳定 M@@M@@Q^3@@（实六维闭辛流形）上，本文构造出恰好有三个不动点的光滑哈密顿微分同胚，而该流形上任何光滑函数都至少有四个临界点——同时推翻 Arnold 猜想的临界数形式与有理杯长形式，且三是最优计数。Classifies closed connected Einstein four-manifolds with positive Einstein constant and nonnegative …
@@M@@S^2(1/\sqrt3)\times S^2(1/\sqrt3)@@；由此补全非负截面曲率 Einstein 四@@M@@L^2@@ 间隙定理：单连通、闭、非负截面曲率的四维流形上，若无迹 Ricci 张量的 @@M@@L^2@@ 能量足够小，流形必微分同胚于 @@M@@S^4@@、@@M@@\mathbb{CP}^2@@ 或 @@M@@S^2\times S^2@@，把精确@@M@@S^4@@、Fubini–Study @@M@@\mathbb{CP}^2@@ 或圆 $\mathbb{RP}^Proves the Solomon–Yau least-volume conjecture for minimal hypersurfaces of round spheres. For every…
@@M@@S^{m+1}@@（@@M@@m\ge2@@）中任何非全测地（non-totally-geodesic）的闭连通极小浸入超曲面，其体积（按定义域计数、含覆盖重数）不小于最小极小 CliffordProves the sharp C\sqrt\lambda upper bound for nodal length on every fixed smooth closed surface…
@@M@@\mathcal H^1(Z_u)\le C\sqrt\lambda@@；与已知下界合并，丘成桐节点集猜想（Yau’s nodal set conjecture）在光滑@@M@@S^2\times\mathbb T^2@@ 上的光滑度量，使得同一个固定度量下存在精确特征函数序列，其节点测度除以 @@M@@\sqrt\lambda@@ 趋于无穷——Yau 节点上界猜想在光滑@@M@@S^4\times S^1@@ 上构造出一个光滑黎曼度量及固定 @@M@@\epsilon_0>0@@，使精确特征函数序列的节点四维体积增长快于 @@M@@\lambda^{1/2+\epsilon_0}@@——不仅推翻 Yau 节点上界猜想的光滑版本Proves that a smooth Ricci flow on a closed four-manifold extends past any finite time at which scal…
@@M@@\Sp^2\times\Sp^{q+1}@@ 上构造出一条光滑 Ricci flow：其标量曲率（scalar curvature）直到有限极大时刻始终一致有界，全曲率张量却同时发散。这推翻了”任何维数下标量曲率都能@@M@@M\to0@@ 时，重正化 Einstein–Hilbert 泛函满足 @@M@@E=o(M)@@。这一静态估Disproves Chen’s smooth long-time existence conjecture for Calabi flow by constructing a smooth $`U(…
@@M@@\mathbb{CP}^{10}@@ 的 Fubini–Study 类中构造出光滑 Kähler 度量，其 Calabi 流在有限时刻 @@M@@T_*@@ 前数量曲率按 @@M@@(T_*-t)^{-1/2}@@ 爆破，推翻 Chen 的 CalabiProves that every smooth locally uniformly convex affine-maximal graph of dimension three through ni…
@@M@@\mathbb{R}^{10}@@、Hessian 逐点正定且满足经典仿射极值方程 (affine maximal equation) 的非二次函数，推翻”整图仿射 Bernstein 断言”在十维的成立，与姊妹篇一起把@@M@@3\le n\le9@@ 时，诱导欧氏度量完备的光滑局部一致凸仿射极值图必为椭圆抛物面——定义域必是全空间、函数必是正定二次多项式；仿射完备 (affine-complete) 的经典仿射极大浸入超曲面亦得同样结论。配合姊妹篇的Determines the isoperimetric profile of the unit cubic flat three-torus and classifies every finite-…
@@M@@\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3@@ 上的等周猜想：任何体积下最小周长区域必为球、绕最短闭测地线的圆管、坐标板或其补，并在两个转变体积 @@M@@4\pi/81@@ 与 @@M@@1/\pi@@ 处穷尽全部等号情Proves the first-singular-time case of tangent-flow uniqueness for smooth compact connected embedded…
Proves Gigli’s conjecture: in every integer dimension n ≥ 2, Alexandrov curvature at least <i…
@@M@@\kappa@@ 的 @@M@@n@@ 维 Alexandrov 空间，当且仅当以 @@M@@\mathcal H^n@@ 为参考测度时它是满支撑的 $\mathrm{RCD}((n-1)\@@M@@\mathrm{RCD}(K,N)@@（@@M@@1<N<\infty@@）空间上证明：有界全局 Lipschitz 函数的分布 Hessian 若被有界连续函数 @@M@@G@@ 控制，则沿每条最短测地线 @@M@@\sigma@@ 成立 $(F\circ\Proves that every regular point of a noncollapsed \mathop{\mathrm{RCD}}\nolimits (K,n) space, fo…
@@M@@\mathcal H^n@@ 的非坍缩 @@M@@\mathrm{RCD}(K,n)@@ 空间中，每个正则点（所有切空间均为欧氏空间）都有开邻域双 Lipschitz（bi-Lipschitz）同胚于 @@M@@\mathbb R^n@@ 的开Constructs a closed connected orientable smooth three-manifold that admits a metric without conjugat…
Constructs a contractible domain in ℂ3 with a complete negatively pinched Kähler metric b…
@@M@@\mathbb{C}^3@@ 中构造出可缩区域 (contractible domain)，配上完备 Kähler 度量后其实截面曲率 (sectional curvature) 被两个负常数上下夹紧，却不存在 Jacobi 行列式处处非零的有界全纯映@@M@@m@@ 下，构造出与 @@M@@\mathbb R^{2m}@@ 微分同胚、带完备 Kähler 度量且截面曲率处处不超过 @@M@@-1@@ 的区域，其有界全纯函数却只有常数——”一致负上界曲率必逼出非常数有界全纯函数”的单侧问题被On every closed connected Riemannian manifold of dimension at least two satisfying weak Ma–Trudinger…
Disproves Yau’s proposed Euclidean dimension bound for harmonic functions of integer growth on manif…
@@M@@\mathbb R^{16}@@（一般地，某个偶数维 @@M@@n\geq 8@@）上构造了 @@M@@\operatorname{Ric}\geq 0@@ 的完备光滑度量，使增长不超过 @@M@@k=50000@@ 的调和函数空间维数严格超过欧氏计数，对丘成桐@@M@@4/9<v<1@@ 与倍数 @@M@@1<c<9v/4@@，所有充分大的整数 @@M@@k@@ 都允许 @@M@@\mathbb R^3@@ 上一个 @@M@@\operatorname{Ric}\geq 0@@ 的完备光滑度量，使增长不超过 @@M@@k@@ 的调和函数至少Proves large-data global existence and uniqueness for the three-dimensional, one-species relativisti…
Constructs two distinct global entropy solutions of the three-dimensional periodic hard-sphere Boltz…
@@M@@\mathbb T^3\times\mathbb R^3@@ 上构造出同一个初值派生的两个不同整体可容解：都满足重整化方程、局部质量守恒、总动量守恒及能量与熵耗散不等式，从而否定了 DiPerna–Lions 解类在一般初值下的Derives the nonlinear Boltzmann equation from three-dimensional grand-canonical Newtonian gases thro…
Zero-frequency measurements on any nonempty open boundary patch determine a smooth metric and smooth…
@@M@@n\ge 3@@ 维紧流形上，仅用一个任意小的边界开补丁做零频率测量（输入与观测都限制在该补丁上），就能同时确定光滑黎曼度量和秩二埃尔米特丛上的光滑酉联络，且只差一个在该补丁上恒为恒等的微分同胚与酉规范变换。@@M@@n\ge3@@ 时，仅在一个任意边界开补丁上同时做输入与观测的零频率能量测量，光滑黎曼度量就被确定至只差一个在该补丁上恒等的微分同胚；固定欧氏区域上的标量电导率则被完全唯一确定。Resolves the interior regularity conjecture for reduced absolute planar Mumford–Shah minimizers with…
@@M@@C^{1,\alpha}@@ 弧、以该点为端点的弧，或三条两两成 @@M@@120^\circ@@ 的弧；任一紧区域只与有限个整Establishes seven as the first dimension admitting a nonflat, one-homogeneous global minimizer of th…
@@M@@n-7@@ 且该界可达。Resolves the three-dimensional Ball–Evans approximation problem: every W^{1,p} homeomorphism bet…
@@M@@1\le p\le2@@ 的情形：任意有界区域之间的 @@M@@W^{1,p}@@ 同胚都是映满同一目标域的 @@M@@C^\infty@@ 微分同胚在 @@M@@W^{1,p}@@ 中的强极限，让”保持单射”与”导数逼@@M@@p>2@@：任意有界区域之间的 @@M@@W^{1,p}@@ 同胚都可被映满同一目标域的光滑微分同胚在 @@M@@W^{1,p}@@ 中强逼近；与处理 @@M@@1\le p\le2@@ 的姊妹篇合起来，三维问题Proves a strict form of Burdzy’s simply connected hot spots conjecture. On every smooth bounded simp…
Resolves the subcritical Lane–Emden conjecture and its weighted Hénon extension. For n ≥ 2, $…
@@M@@\frac{n+A}{p+1}+\frac{n+B}{q+1}\gt n-2@@ 时，方程组 @@M@@-\Delta u=|x|^A v^p@@、@@M@@-\Delta v=|x|^B u^q@@For a sufficiently large odd nonlinearity power, constructs a nonempty open set of initial data in $…
@@M@@\mathbb T^{12}@@ 上，非线性次数 @@M@@p@@ 充分大的奇数幂散焦薛定谔方程，在高 Sobolev 空间 @@M@@H^k@@（@@M@@k>8@@）中存在非空开集，其中每个初值的解都在有限时间以自相似速率爆破，首次给出全维开集Proves that full static boundary displacement-to-traction data determine both smooth real Lamé modul…
@@M@@\lambda,\mu@@，无需解析性、小性或边界先验假设，解决了这一悬置三十余年的公开问题。An optimal three-particle Coulomb configuration need not be a deterministic function of the first pa…
For uniform source measure ρ on a compact convex body with interior in dimension at least two…
@@M@@\|T_\mu-T_\nu\|_{L^2(\rho)}\le C\,W_2(\mu,\nu)^{1/3}@@，且指数 @@M@@1/3@@ 最优：固定立方体上的三Proves De Giorgi’s conjecture at its sharp dimension-eight endpoint: every entire C2</su…
@@M@@\mathbb R^8@@ 上沿一个方向严格单调的有界整体解 @@M@@\Delta u=u^3-u@@ 必为一维 @@M@@\tanh@@ 平面波，且不需要 Savin 的方向极限假设；更强地，$\maConstructs viscous incompressible flows starting from rest on a fixed flat three-dimensional domain …
@@M@@t\ge1@@ 后完全定常（不随时间变化）的光滑零均值外力，使固定粒子进入固定开带当且仅当给定图灵机停机——停止变化的力仍能驱动任意长的通用计算。@@M@@t\ge1@@ 后周期为一的外力，使零初速解中的固定粒子恰在停机时进入固定半开带；核心是让改变面积的前缀指令在不可压缩流中实现。@@M@@\nu>0@@ 固定的不可压 Navier–Stokes 流构造光滑外力，使得只看速度场的固定检验——环面某带内 @@M@@u_3>\tfrac12@@，或 @@M@@\mathbb R^2\times\mathbb T@@@@M@@\mathbb R^3@@ 上构造具有单一紧支集的光滑外力，驱动从静止出发的三维不可压 Navier–Stokes 流：原点粒子进入半空间 @@M@@\{x_1<-1\}@@ 当且仅当图灵机停机，且力与速度的各阶混合导数按 $O((1+t)^{-C^{1,\alpha}$ regularity for infinity-harmonic functionsProves uniform interior C^{1,\alpha_d} regularity for bounded infinity-harmonic functions in eve…
@@M@@d\ge3@@ 中，有界无穷调和函数（infinity-harmonic）满足只依赖维数的一致内部 @@M@@C^{1,\alpha_d}@@ 估计（@@M@@\alpha_d\in(0,1/3]@@）：梯度在 @@M@@B_{1/2}@@ 上的上确