结果族 090：Triangular-lattice optimality, long-range Riesz and Coulomb energies, and spherical logarithmic energy · 学科：Convex and metric geometry · 验证状态：暂无形式化证明，请以社区核验为准
同样大小的硬币在无限大的桌面上最多能摆多密？人人都猜蜂窝式最密——这早被 Thue 证明。这篇论文做的是另一件事：造一台”验钞机”。它构造出一个特殊函数，几个符号条件一经检查，密度上界就被钉死在蜂窝的数值上、分毫不差。Cohn–Elkies 方法提出二十多年，这台二维验钞机终于被造了出来。
关键词卡片
看个具体例子
蜂窝摆法里，每枚硬币恰好嵌进一个正六边形”包间”，包间的内切圆正是硬币本身，所以密度 @@M@@=\dfrac{\pi r^2}{2\sqrt3\,r^2}=\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx 0.9069@@。论文构造的证书 @@M@@f@@ 满足 @@M@@f(0)/\widehat f(0)=2/\sqrt3@@，代入 Cohn–Elkies 定理，上界 @@M@@=\frac\pi4\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{\pi}{2\sqrt3}@@，与蜂窝密度严丝合缝；而且对任意（不必周期的）堆积都有效。
为什么值得关心
它与 8 维、24 维的”魔法函数”一脉相承，补齐二维拼图；同一张证书还顺带恢复经典结论——周期堆积中只有三角格能达到这个密度。
暂无形式化证明（AI 结果待核验）
衔接篇目：A sharp Fourier certificate for planar circle packing（结果族 090）
第一级台阶
导读把 Cohn–Elkies 方法比作”验钞机”：造出一个特殊的辅助函数，只要机器上几个指示灯——函数本体的符号、频率拆解后的符号——全亮绿色，硬币能摆多密的上界就自动打印出来，而且这次的读数恰好停在蜂窝的密度上。要造的不是摆放方案，而是一张能让所有作弊摆法过不了关的检验凭证。
第二级台阶
精确化：辅助函数取径向的 Schwartz 函数——衰减比任何多项式倒数都快的光滑函数，并配以经典 Fourier 变换。Cohn–Elkies 定理说：若 f 在半径不小于一处取非正值、而其 Fourier 变换处处非负，则任何等圆堆积的密度不超过 (π/4)·f(0)/f̂(0)。于是”验钞机达到最优”翻译成：找这样的 f，让比值 f(0)/f̂(0) 恰为 2/√3。
第三级台阶
定理断言这样的函数存在，并可显式构造：f̂(0)=1、f(0)=2/√3，两处符号条件在全域成立，代入即得上界 π/(2√3)，与三角格堆积严丝合缝。Schwartz 与径向性保证 Fourier 机制与能量比较合法运转；符号条件承担全部验证负担，须在节点之间每一点核验。附带推论从证书的零点结构读出：周期堆积若达到最优密度，中心集必是三角格的欧氏运动像——经典唯一性被同一张证书重新签发。
本文构造了一个显式径向 Schwartz 函数 @@M@@f@@：在 @@M@@|x|\ge1@@ 处非正、Fourier 变换处处非负、且 @@M@@f(0)/\widehat f(0)=2/\sqrt3@@，使 Cohn–Elkies 线性规划上界在平面达到精确的最优堆密度 @@M@@\pi/(2\sqrt3)@@，解决其二维 sharpness 猜想，并从零点结构恢复周期等号情形三角堆积的唯一性。
平面等圆堆的最优密度 @@M@@\pi/(2\sqrt3)@@ 是 Thue 定理（Hales 给出基于 Rogers 思想的初等证明）。Cohn 与 Elkies 2003 年的 Fourier 线性规划（linear programming）框架把堆密度上界化为寻找一个”变换前后符号相容”的辅助函数：要求 @@M@@f(x)\le0@@ 在排除半径之外、@@M@@\widehat f\ge0@@；其猜想 7.3 问二维是否也存在使界达到最优的 sharp 证书。该框架在 8 维与 24 维由 Viazovska 及 CKMRV 的模形式”魔法函数”达到最优。平面多一重障碍：三角壳上的值与导数数据并不唯一确定径向 Schwartz 函数（CKMRV 猜想 7.5，Sardari 证实了非唯一性），因此不能照搬高维插值路线，必须在一个显式函数族内另行求解。
定理（sharp Fourier 证书）：存在实径向 Schwartz 函数 @@M@@f@@ 满足
@@M@@D\widehat f(0)=1,\qquad f(0)=\frac{2}{\sqrt3},\qquad \widehat f(\xi)\ge0\ \ (\xi\in\mathbb R^2),\qquad f(x)\le0\ \ (|x|\ge1).@@
代入 Cohn–Elkies 定理得密度上界 @@M@@\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{\pi}{2\sqrt3}@@，恰为 @@M@@(1,0)@@ 与 @@M@@(1/2,\sqrt3/2)@@ 生成的三角格所达到的值——经典密度定理由此被新证书重新推导，并非新的密度结论；该证书适用于任意堆积，不限于周期的。零点结构被完全确定：物理侧零点的平方半径恰为模 @@M@@12@@ 节点集 @@M@@\mathcal N@@（整数），Fourier 侧零点位于 @@M@@\frac43\mathcal N@@；@@M@@r=1@@ 处是单零点，径向导数精确为 @@M@@-2/(3\sqrt3)@@，原点值由 Poisson 恒等式精确给出为 @@M@@F(0)=\widehat F(0)=6Q_1e^{-\pi h}>0@@。推论：周期堆积若达到 @@M@@\pi/(2\sqrt3)@@，其中心集必为标准三角格在欧氏运动下的像。
先把协体积一三角格的壳坐标 @@M@@s_a=b|a|^2=j^2+jk+k^2@@ 覆盖进模 @@M@@12@@ 剩余类节点集 @@M@@\{0,1,3,4,7,9\}@@（@@M@@b=\sqrt3/2@@；覆盖是严格的——如 @@M@@15@@ 是节点却非壳值，证明用”@@M@@2@@ 不是模 @@M@@5@@ 的平方数”）。符号区域内部的零点必为零导数，故 Fourier 侧全部节点、物理侧第一壳以外的全部壳都规定为二阶零点；第一壳位于符号区域边界，允许单零并规定其负导数，用以锁定整体归一化。构造上，正弦平方乘积 @@M@@P(s)@@（系数显式）在每个节点有二阶零点，除以线性与二次因子得到可独立规定值与导数的 Hermite 基数函数（Hermite-cardinal，模式承自 Carneiro–Littmann–Vaaler 的高斯 Beurling–Selberg 构造）；乘固定高斯（阻尼 @@M@@h=2/5@@）得径向 Schwartz 函数，其 Fourier 变换具有额外高斯衰减的积分表示。耦合的 Fourier 插值方程用有限矩阵处理前若干节点、用显式估计控制无穷尾部，并在整个无权 @@M@@\ell^1@@ 系数空间上求逆（唯一性限于所选系数族）。符号证明处理”精确零点对有限计算”的落差：每个系数列表带 @@M@@\ell^1@@ 误差界连到精确解；零点附近先把误差的低阶 Taylor 项减去再除以消失幂，避免奇异放大；正 Bernstein 系数在完整半胞上认证符号，无界区域用正弦乘积屏障加二阶导数估计收尾。归一化不用数值：对 Poisson 求和的伸缩恒等式求导，@@M@@t=1@@ 时非零项全消失，导数中仅第一壳的六个向量存活，精确得到原点值。周期等号情形：由零点集知任意两中心距离的平方为整数，平移伸缩后经极化恒等式得整内积，中心集生成秩二格 @@M@@\Gamma@@，其 Gram 行列式为正整数且只能达到 @@M@@3@@，而行列式恰为 @@M@@3@@ 的整格必是三角格。
本文主结果暂无形式化证明；证书的计算部分见两份附录：一份给出有限数据与区间算术（interval arithmetic）主证书，含连接有限和与精确矩的解析积分误差；另一份汇集独立的有理数替代验证。本文是本族两篇能量论文的方法源头——其高斯基数函数、有限块与无穷尾求逆及 Bernstein 符号认证框架被后两者改编。作者如实指出局限：等原点形式的证书 @@M@@g@@ 不满足 Cohn–Elkies 猜想 8.1 的附加零集要求；与 Zhitniaia 2026 年学士论文摘要所宣布的 @@M@@\Gamma_0(12)@@ 模形式构造的关系，因仅见机构摘要而尚待全文核对。按 OpenAI 官方声明，未经形式化的结果可能有问题，请以社区核验为准。
对象：A sharp Fourier certificate for planar circle packing（结果族 090）
问 1：证明里最脆弱的一步是什么？
答：是符号认证中”精确零点对有限计算”的落差。证书在节点集上有二阶零点，但数值解只带 ℓ¹ 误差界；论文的做法是先把误差的低阶 Taylor 项减掉、再除以趋零的位移平方，避免奇异放大，然后用 Bernstein 系数在完整半胞上认证符号、远处用正弦乘积屏障收尾。这整套区间算术流水线任何一环外包不严，全局符号结论即告失效。
问 2：8 维、24 维能用模形式”魔法函数”，平面为什么不能照搬？
答：平面缺少对应的模结构是其一；更致命的是 CKMRV 猜想 7.5 已被 Sardari 证实——三角壳上的值与导数数据不能唯一确定径向 Schwartz 函数，高维插值路线在二维失灵。本文只能在显式的 Hermite 基数函数族内解方程，唯一性也仅限于所选系数族。
问 3：Thue 早就证明了蜂窝最密，这篇论文的新意究竟在哪？
答：密度结论本身不是新的。新的是 Cohn–Elkies 二点 Fourier 界在平面达到精确最优（其猜想 7.3）——即二维”验钞机”的读数被钉死在 π/(2√3)；顺带从证书零点结构重新推出周期取等的唯一性，并为同族两篇能量论文提供方法母机。
问 4：证书满足 Cohn–Elkies 猜想 8.1 的全部要求吗？
答：不满足。作者如实指出：等原点形式的证书 g 不具备猜想 8.1 附加的零集要求；另外与 Zhitniaia 宣布的 Γ₀(12) 模形式构造的关系，因仅见学位论文摘要而待全文核对。论文对自身边界是坦诚的。
问 5：归一化怎么避免”数值上凑出 2/√3”的嫌疑？
答：原点值不靠数值：对 Poisson 求和的伸缩恒等式求导，t=1 时非第一壳项全部消失，只剩第一壳六个向量的贡献，精确得到 F(0)=6Q₁e^{−πh}；比值 f(0)/f̂(0)=2/√3 由结构而非拟合给出。
问 6：这篇论文最可能以什么方式出错？
答：典型风险有三种：区间算术外包舍入方向出错或解析积分误差界漏估；有限块与无穷尾求逆的一致界在某类节点上失效；符号屏障在半胞交接处露出缝隙。附录虽有独立的有理数替代验证，但主结果未形式化，仍需社区复核。
问 7：谁会用到它？
答：它补齐了 2、8、24 维 sharp Fourier 界的拼图，是 Cohn–Elkies 纲领的二维收官；同族三角格能量两文的高斯基数函数、有限块加无穷尾求逆与 Bernstein 符号认证框架均改编自本文；圆堆积的唯一性与稳定性研究可直接引用其取等刻画。
总评
这是把二维线性规划堆密度界从”接近最优”推到”精确最优”的方法论收官之作，其价值一半在结论、一半在验证机器本身；最大风险与同族诸篇相同——未经形式化的机器辅助证明，附录的区间与有理数验证必须经得起独立复算。