结果族 373：Nonattainment of the three-marginal Coulomb Monge problem · 学科：Partial differential equations · 验证状态：暂无形式化证明，请以社区核验为准
给三个互相排斥的电子安排座位，让总排斥能最小。最省事的想法：第一个电子落在哪，另外两个的位置就由确定的规则给出，像一张快递路线表。论文构造出一种处处光滑的电子密度，使任何”确定性规则”都拿不到最优——想拿到最优，必须掷骰子随机分配。
关键词卡片
@@M@@\sum_{i\lt j}1/|x_i-x_j|@@，即静电排斥能。看个具体例子
密度分散在五个小球上：中心球质量 @@M@@\tfrac13@@，四个卫星球各 @@M@@\tfrac16@@。任何确定性规则若在中心球的一块 @@M@@S@@ 上选了某个分支，它必须把质量 @@M@@\tfrac13\nu(S)@@ 送进只能容纳 @@M@@\tfrac16\nu(S)@@ 的卫星球——装不下，必然矛盾。于是最优耦合只能是随机的；但把五个球切成越来越细的格子重排，确定性方案的代价能任意接近最优值：可逼近，永不可达。
为什么值得关心
它否定了一般光滑密度下 Monge 拟设的可行性，回答了 2026 年初仍被列为公开问题的三维三体取等问题；多体最优传输是密度泛函理论强关联极限的数学骨架。
暂无形式化证明（AI 结果待核验）
第一级台阶
导读的”电子座位与快递路线表”可以落实：对象是三个服从同一空间分布的粒子，以及一个随相互距离变化的静电排斥代价；配送方案分两种——确定性规则（第一个粒子落在哪，另外两个的位置便唯一确定）与随机分派（按概率把三元组搭配起来）。问题问：总排斥能最小的方案，是否总能做成确定性的？
第二级台阶
精确化三个概念。库仑代价是三对粒子距离倒数之和 @@M@@c(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i\lt j}1/|x_i-x_j|@@，两点重合时代价为无穷；Kantorovich 方案类是三个边际都等于给定分布 @@M@@\mu@@ 的耦合 @@M@@\pi@@；Monge 方案指 @@M@@(\Id,T_2,T_3)_\#\mu@@ 形式的耦合，其中 @@M@@T_2,T_3@@ 是保测度 Borel 映射（把 @@M@@\mu@@ 原样搬运，@@M@@T_\#\mu=\mu@@）。前者允许随机搭配，后者是严格的确定性路线表。
第三级台阶
定理构造出光滑紧支撑、平方根同样光滑的密度 @@M@@\rho@@，令 @@M@@\mu=\rho\,dx@@：Kantorovich 最小值有限且被某个随机耦合取到，但任何保测度映射对的代价都严格大于它（允许取 @@M@@+\infty@@）；同时 Monge 下确界仍等于该最小值——确定性方案可任意逼近最优、却永远取不到。@@M@@\sqrt\rho@@ 的光滑性把反例放进物理密度类 @@M@@D_3@@；结论对任意 Borel 映射成立，包括循环方案与置换对称化平均，同一构造还推广到任意维数与任意逆幂 Riesz 代价。
本文构造了一个光滑紧支撑、平方根同样光滑的三维概率密度，使三体库仑最优传输不存在确定性映射解：任何保测度映射对都取不到最优值，但映射下确界与松弛下确界相等，从而推翻了光滑密度下 Monge ansatz（Monge 拟设）的一般可行性。
多重边际最优传输（multi-marginal optimal transport）研究在给定各边际分布时如何最小化总相互作用代价。当代价为库仑代价（Coulomb cost）@@M@@c=\sum_{i<j}1/|x_i-x_j|@@、三个边际相同时，问题源自密度泛函理论（density functional theory）的强关联极限：强相互作用下电子的基态排布正是库仑型多体传输问题的解。物理文献中的 co-motion ansatz 断言最优构型可写成第一个粒子位置的确定性函数，即映射对 @@M@@(\Id,T_2,T_3)@@ 的图像。此前两粒子情形最优映射的存在唯一性已证（Cotar–Friesecke–Klüppelberg 2013），一维任意粒子数也有循环最优映射（Colombo–De Pascale–Di Marino 2015）；Colombo–Di Marino（2015）证明 Kantorovich 最优值等于循环保测度映射的下确界，但只给出逼近而非存在性。最接近的反例是 Bindini–De Pascale–Kausamo（2022）针对平面约化径向代价的结果，而非完整库仑代价。三维三粒子的映射取等问题直到 2026 年 1 月仍被 Friesecke 列为公开问题，本文给出否定回答。
主定理：存在密度 @@M@@\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)@@，@@M@@\int\rho\,dx=1@@ 且 @@M@@\sqrt\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)@@，使得对 @@M@@\mu=\rho\,dx@@：Kantorovich 下确界 @@M@@E_*(\mu)@@ 有限且被某个耦合取到，但任何满足 @@M@@(T_2)_\#\mu=(T_3)_\#\mu=\mu@@ 的 Borel 映射对都满足 @@M@@\int c(x,T_2(x),T_3(x))\,d\mu(x)>E_*(\mu)@@（左边允许为 @@M@@+\infty@@）。同时 Monge 下确界（对一切保测度映射对取下确界）仍等于 @@M@@E_*(\mu)@@：逼近可达，取等永不可达。推广定理：对每个维数 @@M@@d\ge 2@@ 与每个指数 @@M@@s>0@@，逆幂 Riesz 代价 @@M@@c_s=\sum_{i<j}|x_i-x_j|^{-s}@@ 在 @@M@@\mathbb{R}^d@@ 上同样存在具备上述全部性质的光滑密度。所造密度落在物理密度类 @@M@@D_3@@ 中（取 @@M@@n=3\rho@@ 则 @@M@@\sqrt n\in H^1@@），不过文中不涉及外势与基态诠释。
证明是”几何约束＋质量失衡”的组合，分四步走。
先在五个两两不交的小球（以 @@M@@0,\pm e_1,\pm e_2@@ 为心）上建立对偶型的支撑不等式（supporting inequality）：构造有界连续位势 @@M@@u@@，使 @@M@@c\ge u(x_1)+u(x_2)+u(x_3)@@，等号恰在两族三元组 @@M@@(x,Y_k(x),W_k(x))@@（@@M@@k=1,2@@）及其坐标置换上成立。局部上固定正向外点、对其余两坐标取条件极小，隐函数定理给出微分同胚（diffeomorphism），换参数后得到分支映射 @@M@@Y_k,W_k@@；关键的巧合是两个中心三元组 @@M@@(0,e_k,-e_k)@@ 的库仑代价同为 @@M@@5/2@@ 且中心梯度相同，故两族能共享同一个中心位势。其余组合被严格代价间隙排除（含零却非对心的组合代价 @@M@@2+1/\sqrt2>5/2@@），重复分量被库仑奇性排除：同球两点代价至少 @@M@@1/(2r)@@，把球半径 @@M@@r@@ 取得足够小即可压过位势上界。
再构造边际与最优耦合：取中心球上的光滑概率 @@M@@\nu=g^2dx@@，定义 @@M@@\mu=\frac13\nu+\frac16\sum_H H_\#\nu@@，其中 @@M@@H@@ 遍历四个分支映射。随机等概率选一个分支，再对 @@M@@(x,Y_k(x),W_k(x))@@ 做独立均匀随机置换，所得耦合 @@M@@\pi_0@@ 的三个边际恰为 @@M@@\mu@@ 且逐点取等，故最优；由换元公式与五个支撑互不相交，@@M@@\rho=\frac13g^2+\frac16\sum_H g_H^2@@ 连平方根都光滑。任何最优耦合都被支撑不等式逼到等号集上。
然后是排除映射的测度论核心，即分裂引理（splitting lemma）：若保测度映射对最优，则中心球上 @@M@@\nu@@-几乎处处 @@M@@T_2(x)\in\{Y_1,W_1,Y_2,W_2\}(x)@@。设 @@M@@T@@ 在 Borel 集 @@M@@S_j@@ 上选了分支 @@M@@H_j@@，则 @@M@@S_j@@ 的 @@M@@\mu@@-质量为 @@M@@\frac13\nu(S_j)@@，而其像 @@M@@H_j(S_j)@@ 只有 @@M@@\frac16\nu(S_j)@@，保测度性立刻给出矛盾。这里用的是精确的像测度关系而非分量总质量，所以分支选择无论多么不规则都逃不掉。
最后证明两个下确界相等：把五个分量切成直径至多 @@M@@\delta@@ 的格子，令图方案在每格积上的质量等于 @@M@@\pi_0@@ 的质量，用切片引理与 Rosenblatt 变换（Rosenblatt transform）构造 Borel 传输映射实现重新分配；分量间距 @@M@@\eta>0@@ 保证代价振荡至多 @@M@@6\delta/\eta^2@@，令 @@M@@\delta\to0@@ 即得，全程无需让奇异代价通过弱极限。Riesz 推广只需验证 @@M@@D^2h_s@@ 可逆（径向特征值 @@M@@s(s+1)|b|^{-s-2}@@，切向 @@M@@-s|b|^{-s-2}@@）与新间隙 @@M@@2+2^{-s/2}>2+2^{-s}@@，整套论证照搬。
本文是结果族 373 的奠基篇：质量分裂引理、五分量对偶证书、光滑边际构造、下确界比较与 Riesz 推广在文内自成完整证明链，且明确否定的是任意 Borel 保测度映射对，包括对称化与循环方案。主结果暂无形式化证明，依 OpenAI 官方声明”未经形式化的结果可能有问题”，请以社区核验为准；本批次该族仅此一篇，Riesz 推广内嵌于本文而非姊妹篇，其内部各节互相支撑。
问 1：证明里最关键、也最脆弱的一步在哪里？
（答：两族三元组共享同一个中心位势的”巧合”。构造要求 @@M@@c\ge u(x_1)+u(x_2)+u(x_3)@@ 且等号恰在两族分支上成立；两个中心三元组 @@M@@(0,e_k,-e_k)@@ 的库仑代价同为 @@M@@5/2@@ 且中心梯度相同，两族才能共用一个 @@M@@u@@。若支撑不等式的等号集比两族更大——例如隐函数定理给出的微分同胚参数化有误——最优耦合就不必集中在两族上，分裂引理便失去靶子。）
问 2：构造中的各条件为什么不能省？
（答：反例特意要求 @@M@@\rho\in C_c^\infty@@ 且 @@M@@\sqrt\rho\in C_c^\infty@@：这把结论放进物理密度类 @@M@@D_3@@（@@M@@n=3\rho@@ 时 @@M@@\sqrt n\in H^1@@），堵住”正则性不够才失败”的退路——被否定的恰是”绝对连续加有限能量即保证 Monge 最优存在”这一原问题中的隐含期待。论文明言这只是密度正则性陈述，不涉及外势与基态诠释。）
问 3：与已有工作相比，真正的新意是什么？
（答：此前最接近的 Bindini–De Pascale–Kausamo（2022）只针对平面约化径向代价、且只排除四个给定映射；Pass 的径向非映射优化子并不排除其他 Monge 形式的优化子。本文对完整库仑代价、在三维、对光滑同一边际否定任意 Borel 保测度映射对（含循环与对称化），回答了 2026 年 1 月 Friesecke 仍列为公开的三粒子取等问题。机制上改编 Gerolin–Kausamo–Rajala 的分裂机制，新任务是库仑代价下让两族共享支撑位势。）
问 4：这类 AI 生成证明最可能以什么方式出错？
（答：支撑不等式的”证书”部分：局部隐函数定理、代价间隙 @@M@@2+2^{-1/2}\gt5/2@@ 排除其余组合、球半径足够小使库仑奇性排除重复分量——都是显式常数比较，若某个数值不等式（如梯度匹配）差一点，等号集就不止两族。其次是分裂引理用精确像测度关系（@@M@@S_j@@ 的质量 @@M@@\nu(S_j)/3@@ 对像容量 @@M@@\nu(S_j)/6@@）而非分量总质量，这一步若粗化为总质量论证，不规则 Borel 选择就可能逃掉。本文未形式化，但验证点多为可显式复核的量。）
问 5：Monge 与 Kantorovich 下确界相等这一点为何重要？
（答：若两者不相等，反例只是”映射类太窄”的平凡现象；相等说明随机耦合的优势本质是”取不到”而非”更便宜”：逼近序列显式存在（切格子加 Rosenblatt 变换，代价振荡 @@M@@6\delta/\eta^2\to0@@），但极限只能是随机的。这与 Colombo–Di Marino 的一般相等定理精神一致，本文对该边际给出直接构造。）
问 6：这个结果谁会用、用在哪？
（答：密度泛函理论：co-motion ansatz 在光滑密度下不再普适，严格关联电子（SCE）方法使用映射形式须谨慎；最优传输社区得到多边际问题第一个光滑库仑非达成例子；Riesz 推广（每个 @@M@@d\ge2@@、每个 @@M@@s\gt0@@）把适用面扩到一般逆幂相互作用。）
总评
以一个显式而干净的构造否定了光滑密度下三体库仑 Monge 拟设，回答新近列出的公开问题，分量扎实；最大风险集中在支撑不等式证书的常数细节，好在多数验证点是显式可复核的。